华东师范大学 2014年高等代数第7题
📝 题目
7．（25 分）设 $n$ 阶矩阵
$$
A_{n}=\left(\begin{array}{cccccc}
-2 & 1 & & & & \\
1 & -2 & 1 & & & \\
& 1 & -2 & 1 & & \\
& & 1 & \ddots & \ddots & \\
& & & \ddots & \ddots & 1 \\
& & & & 1 & -2
\end{array}\right)
$$
其特征多项式记为 $\displaystyle f_{n}(\lambda)$ 。
（1）．证明：$\displaystyle f_{n}(\lambda)=(\lambda+2) f_{n-1}(\lambda)-f_{n-2}(\lambda)$ ．
（2）．求 $\displaystyle f_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda), f_{3}(\lambda)$ ，并求相应的特征值及特征向量．
（3）．试写出 $\displaystyle A_{3}$ 的若尔当典范型．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立特征多项式的递推关系
设 $f_n(\lambda)=\det(\lambda I - A_n)$。对于 $n\ge 3$，将行列式按第一行展开：
$$f_n(\lambda) = (\lambda+2)\det\begin{pmatrix}\lambda+2 & -1 & \cdots & 0 \\ -1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ 0 & \cdots & -1 & \lambda+2\end{pmatrix}_{(n-1)\times(n-1)} - (-1)\det\begin{pmatrix}-1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda+2 & -1 & \cdots & 0 \\ 0 & -1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda+2\end{pmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}$$第一个行列式是 $f_{n-1}(\lambda)$。第二个行列式按第一行展开得 $(-1)\cdot f_{n-2}(\lambda)$，因此 $f_n(\lambda) = (\lambda+2)f_{n-1}(\lambda) - f_{n-2}(\lambda)$。
公式：$f_n(\lambda) = (\lambda+2)f_{n-1}(\lambda) - f_{n-2}(\lambda)$
提示：注意展开时符号的处理，第二个行列式第一行第一列元素是-1，其代数余子式符号为$(-1)^{1+1}=1$，但展开后还有前面的负号，最终得到$-f_{n-2}(\lambda)$。
步骤 2/6
目标：计算 $f_1(\lambda)$ 及特征值与特征向量
$n=1$ 时，$A_1=(-2)$，特征多项式 $f_1(\lambda)=\det(\lambda+2)=\lambda+2$。特征值 $\lambda=-2$，特征向量为任意非零向量，例如 $(1)$。
公式：$f_1(\lambda)=\lambda+2$
提示：一阶矩阵的特征向量就是任意非零数。
步骤 3/6
目标：计算 $f_2(\lambda)$ 及特征值与特征向量
$n=2$ 时，$A_2=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}$，特征多项式 $f_2(\lambda)=\det\begin{pmatrix}\lambda+2 & -1 \\ -1 & \lambda+2\end{pmatrix}=(\lambda+2)^2-1=\lambda^2+4\lambda+3=(\lambda+1)(\lambda+3)$。特征值 $\lambda_1=-1$，$\lambda_2=-3$。
对于 $\lambda=-1$：解 $(A_2+I)v=0$，即 $\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}v=0$，得 $v=(1,1)^T$。
对于 $\lambda=-3$：解 $(A_2+3I)v=0$，即 $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}v=0$，得 $v=(1,-1)^T$。
公式：$f_2(\lambda)=(\lambda+1)(\lambda+3)$
提示：注意特征向量要归一化或取简单整数形式。
步骤 4/6
目标：利用递推求 $f_3(\lambda)$
由递推公式 $f_3(\lambda)=(\lambda+2)f_2(\lambda)-f_1(\lambda)=(\lambda+2)(\lambda^2+4\lambda+3)-(\lambda+2)=(\lambda+2)(\lambda^2+4\lambda+2)$。因式分解 $\lambda^2+4\lambda+2=(\lambda+2+\sqrt{2})(\lambda+2-\sqrt{2})$，故特征值为 $\lambda=-2$，$\lambda=-2\pm\sqrt{2}$。
公式：$f_3(\lambda)=(\lambda+2)(\lambda^2+4\lambda+2)$
提示：注意因式分解时不要遗漏因子。
步骤 5/6
目标：求 $A_3$ 的特征向量
对于 $\lambda=-2$：解 $(A_3+2I)v=0$，$A_3+2I=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$，秩为2，基础解系 $v=(1,0,-1)^T$。
对于 $\lambda=-2+\sqrt{2}$：解 $(A_3-(-2+\sqrt{2})I)v=0$，即 $\begin{pmatrix}-\sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & -\sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 & -\sqrt{2}\end{pmatrix}v=0$，得 $v=(1,\sqrt{2},1)^T$。
对于 $\lambda=-2-\sqrt{2}$：解 $(A_3-(-2-\sqrt{2})I)v=0$，即 $\begin{pmatrix}\sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt{2}\end{pmatrix}v=0$，得 $v=(1,-\sqrt{2},1)^T$。
提示：解齐次线性方程组时注意系数矩阵的秩，确保得到正确的特征向量。
步骤 6/6
目标：写出 $A_3$ 的若尔当典范型
由于 $A_3$ 有三个不同的特征值，故可对角化，其若尔当典范型为对角矩阵：
$$J = \begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 \\ 0 & -2+\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & -2-\sqrt{2}\end{pmatrix}$$
提示：不同特征值对应的若尔当块就是1×1的块，即对角元。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。