华东师范大学 2020年高等代数第8题
📝 题目
8．（20 分）（1）．设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ．求证：若存在可逆矩阵 $\displaystyle B \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，使得 $\displaystyle A=B^{-1} \bar{B}$ ，则 $\displaystyle A^{-1}=\bar{A}$ 。
（2）．设可逆矩阵 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 满足 $\displaystyle A^{-1}=\bar{A}$ ．求证：存在可逆矩阵 $\displaystyle B \in\{a \bar{A}+b E \mid a, b \in \mathbb{C}\}$ 使得 $\displaystyle A=B^{-1} \bar{B}$ 。（ $\displaystyle \bar{A}$ 为 $A$ 的共轭矩阵，$E$ 是指单位矩阵。）
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明第一部分：由条件推出A^{-1} = \bar{A}
已知存在可逆矩阵B使得A = B^{-1} \bar{B}。两边取共轭，得\bar{A} = \bar{B}^{-1} B。由于B可逆，\bar{B}也可逆，且(\bar{B})^{-1} = \overline{B^{-1}}，故\bar{A} = \overline{B^{-1}} B。另一方面，A^{-1} = (B^{-1} \bar{B})^{-1} = \bar{B}^{-1} B = \overline{B^{-1}} B，因此A^{-1} = \bar{A}。
公式：A = B^{-1} \bar{B} \Rightarrow A^{-1} = \bar{A}
提示：注意共轭运算与逆运算的交换顺序：\overline{B^{-1}} = (\bar{B})^{-1}。
步骤 2/3
目标：证明第二部分：构造矩阵B并验证可逆性
由A^{-1} = \bar{A}得A\bar{A} = E，即\bar{A}A = E。考虑B = E + \bar{A}。假设B不可逆，则存在非零向量x使得(E + \bar{A})x = 0，即\bar{A}x = -x。两边取共轭得A\bar{x} = -\bar{x}。于是A\bar{A}x = A(-x) = -Ax，但A\bar{A}=E，所以x = -Ax，即Ax = -x。结合\bar{A}x = -x得A\bar{A}x = A(-x) = -Ax = x，而A\bar{A}x = x，故x = -x，推出x=0，矛盾。因此B可逆。
公式：B = E + \bar{A}
提示：证明可逆性时，注意利用条件A\bar{A}=E进行推导，避免循环论证。
步骤 3/3
目标：验证B满足A = B^{-1} \bar{B}
计算BA：BA = (E + \bar{A})A = A + \bar{A}A = A + E（因为\bar{A}A = E）。而\bar{B} = E + A，所以BA = \bar{B}。因此B^{-1}\bar{B} = A。故B = E + \bar{A}满足要求，且B属于集合\{a\bar{A}+bE\}（取a=1, b=1）。
公式：BA = \bar{B} \Rightarrow A = B^{-1}\bar{B}
提示：注意矩阵乘法顺序：BA = \bar{B}，而不是AB = \bar{B}。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。