华中师范大学 2018年高等代数第7题
📝 题目
7．称一复方阵 $N$ 为正规矩阵，如果 $\displaystyle \bar{N}^{T} N=N \bar{N}^{T}$（转置共轭）。
证明：（1）若一上三角阵为正规矩阵，则其为对角矩阵；（2）若分块矩链 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}N_{1} & N_{2} \\ 0 & N_{3}\end{array}\right)$为正规矩阵，则 $\displaystyle N_{2}$ 为零矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明上三角正规矩阵的第一行除对角元外全为零
设 $N = (a_{ij})$ 为 $n \times n$ 上三角正规矩阵，即 $a_{ij}=0$ 当 $i>j$，且满足 $\bar{N}^T N = N \bar{N}^T$。考虑 $(1,1)$ 元素：
计算 $(\bar{N}^T N)_{11} = \sum_{k=1}^n |a_{k1}|^2$。由于 $N$ 上三角，$a_{k1}=0$ 当 $k>1$，故 $(\bar{N}^T N)_{11} = |a_{11}|^2$。
计算 $(N \bar{N}^T)_{11} = \sum_{k=1}^n |a_{1k}|^2$。
由正规性，$|a_{11}|^2 = \sum_{k=1}^n |a_{1k}|^2$，因此 $\sum_{k=2}^n |a_{1k}|^2 = 0$，故 $a_{1k}=0$ 对所有 $k \ge 2$。
公式：$\bar{N}^T N = N \bar{N}^T$
提示：注意上三角矩阵的性质：当 $i>j$ 时 $a_{ij}=0$。
步骤 2/5
目标：归纳证明所有非对角元为零
假设已证明前 $i-1$ 行除对角元外全为零，考虑第 $i$ 行。此时 $N$ 形如：
$$N = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\ 0 & \ddots & 0 & \cdots \\ \vdots & 0 & a_{ii} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & 0 & \ddots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{nn} \end{pmatrix}$$
计算 $(\bar{N}^T N)_{ii} = \sum_{k=1}^n |a_{ki}|^2$。由于 $a_{ki}=0$ 当 $k>i$（上三角）且 $ki$。因此第 $i$ 行非对角元全为零。由归纳法，$N$ 为对角矩阵。
公式：$(\bar{N}^T N)_{ii} = \sum_{k=1}^n |a_{ki}|^2$, $(N \bar{N}^T)_{ii} = \sum_{k=1}^n |a_{ik}|^2$
提示：归纳假设要明确，注意上三角矩阵中 $a_{ki}=0$ 当 $k>i$，且已证 $k
步骤 3/5
目标：写出分块矩阵及其共轭转置
设 $M = \begin{pmatrix} N_1 & N_2 \\ 0 & N_3 \end{pmatrix}$，其中 $N_1$ 为 $p \times p$，$N_3$ 为 $q \times q$，$N_2$ 为 $p \times q$。则 $\bar{M}^T = \begin{pmatrix} \bar{N}_1^T & 0 \\ \bar{N}_2^T & \bar{N}_3^T \end{pmatrix}$。
提示：注意分块矩阵的共轭转置：先转置再共轭，且子块位置对应。
步骤 4/5
目标：计算 $\bar{M}^T M$ 和 $M \bar{M}^T$ 的左上角块
计算 $\bar{M}^T M$：
$$\bar{M}^T M = \begin{pmatrix} \bar{N}_1^T N_1 & \bar{N}_1^T N_2 \\ \bar{N}_2^T N_1 & \bar{N}_2^T N_2 + \bar{N}_3^T N_3 \end{pmatrix}$$
计算 $M \bar{M}^T$：
$$M \bar{M}^T = \begin{pmatrix} N_1 \bar{N}_1^T + N_2 \bar{N}_2^T & N_2 \bar{N}_3^T \\ N_3 \bar{N}_2^T & N_3 \bar{N}_3^T \end{pmatrix}$$
由正规性 $\bar{M}^T M = M \bar{M}^T$，比较左上角块得：
$$\bar{N}_1^T N_1 = N_1 \bar{N}_1^T + N_2 \bar{N}_2^T \quad (1)$$
公式：$\bar{M}^T M = M \bar{M}^T$
提示：矩阵乘法要仔细，注意分块矩阵乘法规则。
步骤 5/5
目标：对方程(1)取迹并推出 $N_2=0$
对方程(1)两边取迹：
$$\operatorname{tr}(\bar{N}_1^T N_1) = \operatorname{tr}(N_1 \bar{N}_1^T) + \operatorname{tr}(N_2 \bar{N}_2^T)$$
由于 $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$，有 $\operatorname{tr}(\bar{N}_1^T N_1) = \operatorname{tr}(N_1 \bar{N}_1^T)$，代入得：
$$\operatorname{tr}(N_1 \bar{N}_1^T) = \operatorname{tr}(N_1 \bar{N}_1^T) + \operatorname{tr}(N_2 \bar{N}_2^T)$$
消去得 $\operatorname{tr}(N_2 \bar{N}_2^T) = 0$。
而 $\operatorname{tr}(N_2 \bar{N}_2^T) = \sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^q |(N_2)_{ij}|^2$，即所有元素的模平方和。因此 $\sum_{i,j} |(N_2)_{ij}|^2 = 0$，故 $N_2 = 0$。
公式：$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, $\operatorname{tr}(N_2 \bar{N}_2^T) = \sum_{i,j} |(N_2)_{ij}|^2$
提示：迹的循环性质：$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$，但注意矩阵维度需匹配。$N_2 \bar{N}_2^T$ 是 $p \times p$ 矩阵，其迹等于所有元素模平方和。
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