华中师范大学 2019年高等代数第5题

解特征方程 $|\lambda I - A| = 0$： $$|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 0 & 2 \\ 0 & \lambda+3 & 0 \\ 2 & 0 & \lambda+2 \end{vmatrix} = (\lambda+3)[(\lambda-1)(\lambda+2)-4] = (\lambda+3)(\lambda^2+\lambda-6) = (\lambda+3)^2(\lambda-2) = 0$$ 得特征值 $\lambda_1 = 2$（单根），$\lambda_2 = -3$（二重根）。

实对称矩阵的合同标准形由特征值的符号决定。正惯性指数 $p$ 为正特征值个数，负惯性指数 $q$ 为负特征值个数。这里 $p=1$，$q=2$。合同标准形可取 $\operatorname{diag}(1, -1, -1)$。

由于 $A$ 是实对称矩阵，可正交对角化，相似标准形即由特征值构成的对角矩阵：$B = \operatorname{diag}(2, -3, -3)$。

解 $(2I - A)x = 0$： $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{cases} x_1 + 2x_3 = 0 \\ 5x_2 = 0 \end{cases}$$ 得 $x_2=0$，$x_1 = -2x_3$，取 $x_3=1$，得 $\xi_1 = (-2, 0, 1)^T$。

解 $(-3I - A)x = 0$： $$\begin{pmatrix} -4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \Rightarrow -4x_1 + 2x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = 2x_1$$ $x_2$ 自由。取两个线性无关的解：令 $x_1=1, x_2=0$ 得 $\xi_2 = (1,0,2)^T$；令 $x_1=0, x_2=1$ 得 $\xi_3 = (0,1,0)^T$。

由于 $\xi_2$ 与 $\xi_3$ 正交，只需单位化： $\|\xi_1\| = \sqrt{5}$，$p_1 = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, 0, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)^T$； $\|\xi_2\| = \sqrt{5}$，$p_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, 0, \frac{2}{\sqrt{5}}\right)^T$； $\|\xi_3\| = 1$，$p_3 = (0,1,0)^T$。

正交矩阵 $P = (p_1, p_2, p_3)$： $$P = \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} & 0 \end{pmatrix}$$ 验证 $P' A P = \operatorname{diag}(2, -3, -3) = B$。