📝 华中师范大学 2019年高等代数真题
第1题
1．（15 分）计算 $n$ 阶行列式
$$
\left|\begin{array}{ccccc}
x_{1} y_{1} & x_{1} y_{2} & x_{1} y_{3} & \cdots & x_{1} y_{n} \\
x_{1} y_{2} & x_{2} y_{2} & x_{2} y_{3} & \cdots & x_{2} y_{n} \\
x_{1} y_{3} & x_{2} y_{3} & x_{3} y_{3} & \cdots & x_{3} y_{n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
x_{1} y_{n} & x_{2} y_{n} & x_{3} y_{n} & \cdots & x_{n} y_{n}
\end{array}\right|,
$$
其中 $\displaystyle (i, j)$ 元素 $\displaystyle = \begin{cases}x_{i} y_{j}, & i \leqslant j ; \\ x_{j} y_{i}, & i>j .\end{cases}$
$$
\left|\begin{array}{ccccc}
x_{1} y_{1} & x_{1} y_{2} & x_{1} y_{3} & \cdots & x_{1} y_{n} \\
x_{1} y_{2} & x_{2} y_{2} & x_{2} y_{3} & \cdots & x_{2} y_{n} \\
x_{1} y_{3} & x_{2} y_{3} & x_{3} y_{3} & \cdots & x_{3} y_{n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
x_{1} y_{n} & x_{2} y_{n} & x_{3} y_{n} & \cdots & x_{n} y_{n}
\end{array}\right|,
$$
其中 $\displaystyle (i, j)$ 元素 $\displaystyle = \begin{cases}x_{i} y_{j}, & i \leqslant j ; \\ x_{j} y_{i}, & i>j .\end{cases}$
第2题
2．（20分）设
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n+1} \\
a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{n+1}^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & \cdots & a_{n+1}^{n-1}
\end{array}\right)_{n \times(n+1)}
$$
其中 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1}$ 是两两不同的实数．
（1）求 $A$ 的秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)$ ；
（2）若线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 有非零解 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n+1}\right)^{\prime} \neq(0,0, \cdots, 0)^{\prime}$ ．证明：对任意的 $\displaystyle i, 1 \leqslant i \leqslant n+1$ ，都有 $\displaystyle x_{i} \neq 0$ ．
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n+1} \\
a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{n+1}^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & \cdots & a_{n+1}^{n-1}
\end{array}\right)_{n \times(n+1)}
$$
其中 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1}$ 是两两不同的实数．
（1）求 $A$ 的秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)$ ；
（2）若线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 有非零解 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n+1}\right)^{\prime} \neq(0,0, \cdots, 0)^{\prime}$ ．证明：对任意的 $\displaystyle i, 1 \leqslant i \leqslant n+1$ ，都有 $\displaystyle x_{i} \neq 0$ ．
第3题
3．（20 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+3 x-6$ 与多项式 $\displaystyle g(x)=x^{3}-t x+2$ ，其中 $t$ 为实数．若 $\displaystyle g(x)$ 有重根．
（1）求实数 $t$ ；
（2）求 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的最大公因式 $\displaystyle d(x)$ ；
（3）求多项式 $\displaystyle u(x)$ 和 $\displaystyle v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) \cdot f(x)+v(x) \cdot g(x)=d(x)$ ．
（1）求实数 $t$ ；
（2）求 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的最大公因式 $\displaystyle d(x)$ ；
（3）求多项式 $\displaystyle u(x)$ 和 $\displaystyle v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) \cdot f(x)+v(x) \cdot g(x)=d(x)$ ．
第4题
4．（15 分）对向量组 $\displaystyle \Omega: \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，其中 $\displaystyle n \geqslant 2$ ．证明：向量组 $\displaystyle \Omega$ 线性相关且其中任意 $\displaystyle n-1$ 个向量线性无关当且仅当 $\displaystyle \Omega$ 中任意向量 $\displaystyle \alpha_{i}$ 可以写成其余向量的唯一线性组合。
第5题
5．（25分）设实对称矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -2 \\
0 & -3 & 0 \\
-2 & 0 & -2
\end{array}\right)
$$
（1）求 $A$ 的合同标准形及正、负惯性指数；
（2）求 $A$ 的相似标准形 $B$ ；
（3）求正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\prime} A P=B$ ．
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -2 \\
0 & -3 & 0 \\
-2 & 0 & -2
\end{array}\right)
$$
（1）求 $A$ 的合同标准形及正、负惯性指数；
（2）求 $A$ 的相似标准形 $B$ ；
（3）求正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\prime} A P=B$ ．
第6题
6．（20分）
（1）至少列举 3 条实对称矩阵正定的等价条件；
（2）设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \cdots \leqslant \lambda_{n}$ ，说明当 $a$ 取何值时，$\displaystyle a E_{n}-A$ 是正定矩阵；当 $a$取何值时，$\displaystyle a E_{n}-A$ 是负定矩阵．并证明你的结论．
（1）至少列举 3 条实对称矩阵正定的等价条件；
（2）设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \cdots \leqslant \lambda_{n}$ ，说明当 $a$ 取何值时，$\displaystyle a E_{n}-A$ 是正定矩阵；当 $a$取何值时，$\displaystyle a E_{n}-A$ 是负定矩阵．并证明你的结论．
第7题
7．（20分）已知 5 阶复方阵 $A$ 的若尔当标准形为
$$
J=\left(\begin{array}{lll}
J_{1} & & \\
& J_{2} & \\
& & J_{3}
\end{array}\right)
$$
其中 $\displaystyle J_{1}=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right), J_{2}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right), J_{3}=(-1)$ ，即存在可逆矩阵 $\displaystyle P=\left(P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5}\right)$ ，其中 $\displaystyle P_{i}$ 是 $P$ 的第 $i$ 列，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．
（1）求 $A$ 的特征多项式、极小多项式；
（2）求 $A$ 的初等因子组和不变因子组；
（3）$P$ 的列向量中，哪些是 $A$ 的特征向量，对应的特征值分别是什么．
$$
J=\left(\begin{array}{lll}
J_{1} & & \\
& J_{2} & \\
& & J_{3}
\end{array}\right)
$$
其中 $\displaystyle J_{1}=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right), J_{2}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right), J_{3}=(-1)$ ，即存在可逆矩阵 $\displaystyle P=\left(P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5}\right)$ ，其中 $\displaystyle P_{i}$ 是 $P$ 的第 $i$ 列，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．
（1）求 $A$ 的特征多项式、极小多项式；
（2）求 $A$ 的初等因子组和不变因子组；
（3）$P$ 的列向量中，哪些是 $A$ 的特征向量，对应的特征值分别是什么．
第8题
8．（15分）设2维实向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基底 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,3)^{\prime}, \alpha_{2}=(-1,4)^{\prime}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & -1\end{array}\right)$ ．线性变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 在基底 $\displaystyle \beta_{1}=(5,13)^{\prime}, \beta_{2}=(3,10)^{\prime}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\ -1 & 5\end{array}\right)$ 。求线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}-2 \mathscr{B}$ 在基底 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 下的矩阵。