华中师范大学 2019年高等代数第6题
📝 题目
6．（20分）
（1）至少列举 3 条实对称矩阵正定的等价条件；
（2）设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \cdots \leqslant \lambda_{n}$ ，说明当 $a$ 取何值时，$\displaystyle a E_{n}-A$ 是正定矩阵；当 $a$取何值时，$\displaystyle a E_{n}-A$ 是负定矩阵．并证明你的结论．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：列举实对称矩阵正定的等价条件
实对称矩阵正定有以下等价条件：
1. 所有特征值大于0。
2. 所有顺序主子式大于0。
3. 存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P^T P$。
提示：注意顺序主子式是指左上角k阶子式，不是任意主子式。
步骤 2/5
目标：分析矩阵 $aE_n - A$ 的特征值
由于 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$。那么
\[ Q^T (aE_n - A) Q = aE_n - \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) = \operatorname{diag}(a-\lambda_1, \dots, a-\lambda_n). \]
因此 $aE_n - A$ 的特征值为 $a - \lambda_i$（$i=1,\dots,n$）。
公式：Q^T (aE_n - A) Q = \operatorname{diag}(a-\lambda_1, \dots, a-\lambda_n)
提示：注意正交变换不改变特征值，但这里直接得到特征值是因为对角化。
步骤 3/5
目标：推导正定条件
$aE_n - A$ 正定当且仅当所有特征值大于0，即 $a - \lambda_i > 0$ 对所有 $i$ 成立。由于 $\lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_n$，最严格的条件是 $a - \lambda_n > 0$，即 $a > \lambda_n$。
公式：a - \lambda_i > 0 \; \forall i \iff a > \lambda_n
提示：注意特征值排序，最大特征值对应最紧约束。
步骤 4/5
目标：推导负定条件
$aE_n - A$ 负定当且仅当所有特征值小于0，即 $a - \lambda_i < 0$ 对所有 $i$ 成立。最严格的条件是 $a - \lambda_1 < 0$，即 $a < \lambda_1$。
公式：a - \lambda_i < 0 \; \forall i \iff a < \lambda_1
提示：注意负定要求所有特征值小于0，最小特征值对应最紧约束。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，当 $a > \lambda_n$ 时，$aE_n - A$ 正定；当 $a < \lambda_1$ 时，$aE_n - A$ 负定。
提示：注意 $a$ 的取值区间是开区间，端点处特征值为0，矩阵半正定或半负定。
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