华中师范大学 2019年高等代数第7题
📝 题目
7．（20分）已知 5 阶复方阵 $A$ 的若尔当标准形为
$$
J=\left(\begin{array}{lll}
J_{1} & & \\
& J_{2} & \\
& & J_{3}
\end{array}\right)
$$
其中 $\displaystyle J_{1}=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right), J_{2}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right), J_{3}=(-1)$ ，即存在可逆矩阵 $\displaystyle P=\left(P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5}\right)$ ，其中 $\displaystyle P_{i}$ 是 $P$ 的第 $i$ 列，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．
（1）求 $A$ 的特征多项式、极小多项式；
（2）求 $A$ 的初等因子组和不变因子组；
（3）$P$ 的列向量中，哪些是 $A$ 的特征向量，对应的特征值分别是什么．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定特征值及其代数重数
由若尔当标准形 $J$ 可知，$J$ 的对角线元素为特征值。$J_1$ 对应特征值 $2$，$J_2$ 和 $J_3$ 对应特征值 $-1$。$J_1$ 是 $2\times 2$ 块，$J_2$ 是 $2\times 2$ 块，$J_3$ 是 $1\times 1$ 块，因此特征值 $2$ 的代数重数为 $2$，特征值 $-1$ 的代数重数为 $3$。
提示：注意若尔当块的对角线元素即为特征值，块的阶数即为该特征值的代数重数。
步骤 2/7
目标：写出特征多项式
特征多项式为所有特征值的一次因式的幂乘积，幂次为代数重数。因此 $f(\lambda) = (\lambda - 2)^2 (\lambda + 1)^3$。
公式：f(\lambda) = \prod_{i=1}^k (\lambda - \lambda_i)^{n_i}
提示：注意特征多项式是 $\det(\lambda I - A)$，但由若尔当标准形可直接写出。
步骤 3/7
目标：确定极小多项式
极小多项式是每个特征值对应的最大若尔当块的次数。特征值 $2$ 的最大若尔当块是 $J_1$，大小为 $2$，所以因子为 $(\lambda-2)^2$；特征值 $-1$ 的最大若尔当块是 $J_2$，大小为 $2$，所以因子为 $(\lambda+1)^2$。因此极小多项式 $m(\lambda) = (\lambda-2)^2 (\lambda+1)^2$。
公式：m(\lambda) = \prod_{i=1}^k (\lambda - \lambda_i)^{s_i}，其中 s_i 是特征值 \lambda_i 的最大若尔当块阶数
提示：注意极小多项式次数小于等于特征多项式次数，且每个特征值至少出现一次。
步骤 4/7
目标：写出初等因子组
每个若尔当块对应一个初等因子。$J_1$（$2\times 2$，特征值 $2$）对应 $(\lambda-2)^2$；$J_2$（$2\times 2$，特征值 $-1$）对应 $(\lambda+1)^2$；$J_3$（$1\times 1$，特征值 $-1$）对应 $(\lambda+1)$。因此初等因子组为 $\{ (\lambda-2)^2,\ (\lambda+1)^2,\ (\lambda+1) \}$。
提示：初等因子是若尔当块对应的多项式，注意重复的初等因子要列出。
步骤 5/7
目标：写出不变因子组
不变因子 $d_1(\lambda),\ldots,d_5(\lambda)$ 满足 $d_i \mid d_{i+1}$，且所有初等因子的乘积等于所有不变因子的乘积。初等因子次数和为 $2+2+1=5$，不变因子个数为 $5$。将初等因子按次数从小到大排列：次数 $1$ 的 $(\lambda+1)$，次数 $2$ 的 $(\lambda-2)^2$ 和 $(\lambda+1)^2$。因此 $d_1=d_2=d_3=1$，$d_4=\lambda+1$，$d_5=(\lambda-2)^2(\lambda+1)^2$。验证：$d_4 d_5 = (\lambda+1)\cdot (\lambda-2)^2(\lambda+1)^2 = (\lambda-2)^2(\lambda+1)^3 = f(\lambda)$。
公式：d_1(\lambda) \cdots d_n(\lambda) = f(\lambda)，且 d_i \mid d_{i+1}
提示：不变因子个数等于矩阵阶数，且最后一个不变因子是特征多项式。
步骤 6/7
目标：确定特征向量对应的列
由 $AP = PJ$，每个若尔当块的第一列对应的 $P$ 的列是特征向量。$J_1$ 的第一列对应 $P_1$，$J_2$ 的第一列对应 $P_3$，$J_3$ 的唯一一列对应 $P_5$。因此 $P_1$、$P_3$、$P_5$ 是特征向量。
公式：AP = PJ \Rightarrow A P_i = P_i J_i 的第一列
提示：注意若尔当块的第一列对应特征向量，其他列是广义特征向量。
步骤 7/7
目标：确定特征值
$P_1$ 对应 $J_1$，特征值为 $2$；$P_3$ 对应 $J_2$，特征值为 $-1$；$P_5$ 对应 $J_3$，特征值为 $-1$。因此 $P_1$ 是特征值 $2$ 的特征向量，$P_3$ 和 $P_5$ 是特征值 $-1$ 的特征向量。
提示：注意特征向量对应的特征值由若尔当块决定。
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