华中师范大学 2019年高等代数第4题

假设向量组 $\Omega: \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 线性相关且任意 $n-1$ 个向量线性无关。由于 $\Omega$ 线性相关，存在不全为零的系数 $k_1, k_2, \dots, k_n$ 使得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_n \alpha_n = 0$。对于任意固定的 $i$，若 $k_i = 0$，则上式变为其余 $n-1$ 个向量的线性组合为零，且系数不全为零，这与任意 $n-1$ 个向量线性无关矛盾。因此 $k_i \neq 0$。于是 $\alpha_i = -\frac{k_1}{k_i} \alpha_1 - \cdots - \frac{k_{i-1}}{k_i} \alpha_{i-1} - \frac{k_{i+1}}{k_i} \alpha_{i+1} - \cdots - \frac{k_n}{k_i} \alpha_n$，即 $\alpha_i$ 可被其余向量线性表示。

假设 $\alpha_i$ 有两种表示：$\alpha_i = \sum_{j \neq i} a_j \alpha_j = \sum_{j \neq i} b_j \alpha_j$。相减得 $\sum_{j \neq i} (a_j - b_j) \alpha_j = 0$。由于 $\{ \alpha_j : j \neq i \}$ 线性无关，故 $a_j - b_j = 0$，即 $a_j = b_j$，表示唯一。

假设 $\Omega$ 中每个向量均可唯一表示为其余向量的线性组合。取 $\alpha_1$，由条件存在系数 $c_2, \dots, c_n$ 使得 $\alpha_1 = c_2 \alpha_2 + \cdots + c_n \alpha_n$。移项得 $\alpha_1 - c_2 \alpha_2 - \cdots - c_n \alpha_n = 0$，系数 $1, -c_2, \dots, -c_n$ 不全为零，故 $\Omega$ 线性相关。

反证：假设存在某个 $i$ 使得 $\{ \alpha_j : j \neq i \}$ 线性相关，则存在不全为零的系数 $\lambda_j$（$j \neq i$）使得 $\sum_{j \neq i} \lambda_j \alpha_j = 0$。由于 $\alpha_i$ 可表示为其余向量的线性组合：$\alpha_i = \sum_{j \neq i} \mu_j \alpha_j$，则对于任意 $t$，有 $\alpha_i = \sum_{j \neq i} (\mu_j + t \lambda_j) \alpha_j$。由于 $\lambda_j$ 不全为零，存在 $t \neq 0$ 使得 $\mu_j + t \lambda_j$ 与 $\mu_j$ 不同，从而得到 $\alpha_i$ 的另一种表示，与表示唯一矛盾。因此任意 $n-1$ 个向量线性无关。

综上，必要性：由线性相关和任意 n-1 个线性无关推出每个向量可唯一表示为其余向量的线性组合；充分性：由每个向量可唯一表示为其余向量的线性组合推出向量组线性相关且任意 n-1 个向量线性无关。命题得证。