华中师范大学 2019年高等代数第3题

由于 $g(x)=x^3-tx+2$ 有重根，则 $g(x)$ 与 $g'(x)$ 有公因式。计算 $g'(x)=3x^2-t$。设重根为 $\alpha$，则 $g(\alpha)=0$ 且 $g'(\alpha)=0$。由 $g'(\alpha)=0$ 得 $3\alpha^2-t=0$，即 $t=3\alpha^2$。代入 $g(\alpha)=0$：$\alpha^3-3\alpha^3+2=-2\alpha^3+2=0$，解得 $\alpha^3=1$，即 $\alpha=1$ 或 $\alpha=\omega$ 或 $\alpha=\omega^2$，其中 $\omega=e^{2\pi i/3}$。由于 $t$ 为实数，$t=3\alpha^2$，当 $\alpha=1$ 时 $t=3$；当 $\alpha=\omega$ 时 $t=3\omega^2$ 非实数；当 $\alpha=\omega^2$ 时 $t=3\omega$ 非实数。故 $t=3$。

当 $t=3$ 时，$g(x)=x^3-3x+2$。因 $g(1)=0$，$g'(1)=0$，故 $(x-1)^2$ 是因子。多项式除法得 $g(x)=(x-1)^2(x+2)$。

计算 $f(1)=1+1+1+3-6=0$，故 $x-1$ 是因子。多项式除法得 $f(x)=(x-1)(x^3+2x^2+3x+6)$。再检查 $x^3+2x^2+3x+6$ 是否有因子 $x-1$：代入 $x=1$ 得 $12\neq0$，故 $f(x)$ 只有单因子 $x-1$。

由 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的因式分解可知，公共因子为 $x-1$，且 $g(x)$ 中有 $(x-1)^2$，$f(x)$ 中只有 $x-1$，故最大公因式为 $d(x)=x-1$。

首先计算 $f(x)$ 除以 $g(x)$：$f(x)=x\cdot g(x)+(x^3+4x^2+x-6)$，记 $r_1(x)=x^3+4x^2+x-6$。然后 $g(x)$ 除以 $r_1(x)$：$g(x)=1\cdot r_1(x)+(-4x^2-4x+8)$，记 $r_2(x)=-4x^2-4x+8$。再 $r_1(x)$ 除以 $r_2(x)$：$r_1(x)=(-\frac{1}{4}x-\frac{3}{4})r_2(x)+0$，故 $r_2(x)$ 是最大公因式（忽略常数因子）。$r_2(x)=-4(x^2+x-2)=-4(x-1)(x+2)$，所以 $d(x)=x-1$。

由 $g(x)=r_1(x)+r_2(x)$ 得 $r_2(x)=g(x)-r_1(x)$。由 $f(x)=x\cdot g(x)+r_1(x)$ 得 $r_1(x)=f(x)-x\cdot g(x)$。代入得 $r_2(x)=g(x)-[f(x)-x\cdot g(x)]=-f(x)+(1+x)g(x)$。因此 $d(x)=x-1=-\frac{1}{4}r_2(x)=\frac{1}{4}f(x)-\frac{1}{4}(1+x)g(x)$。故 $u(x)=\frac{1}{4}$，$v(x)=-\frac{1}{4}(x+1)$。