华中师范大学 2019年高等代数第2题
📝 题目
2．（20分）设
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n+1} \\
a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{n+1}^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & \cdots & a_{n+1}^{n-1}
\end{array}\right)_{n \times(n+1)}
$$
其中 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1}$ 是两两不同的实数．
（1）求 $A$ 的秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)$ ；
（2）若线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 有非零解 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n+1}\right)^{\prime} \neq(0,0, \cdots, 0)^{\prime}$ ．证明：对任意的 $\displaystyle i, 1 \leqslant i \leqslant n+1$ ，都有 $\displaystyle x_{i} \neq 0$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵结构
矩阵 $A$ 是 $n \times (n+1)$ 矩阵，其行向量为 $\mathbf{r}_1 = (1,1,\ldots,1)$，$\mathbf{r}_2 = (a_1, a_2, \ldots, a_{n+1})$，$\ldots$，$\mathbf{r}_n = (a_1^{n-1}, a_2^{n-1}, \ldots, a_{n+1}^{n-1})$。这些行向量是幂次递增的范德蒙型。
提示：注意矩阵的行数和列数，行数为 $n$，列数为 $n+1$。
步骤 2/6
目标：求秩的下界
考虑 $A$ 的前 $n$ 列构成的 $n \times n$ 子矩阵 $B$：
$$B = \begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\
a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1}
\end{pmatrix}$$
其行列式为范德蒙行列式：
$$\det(B) = \prod_{1 \le i < j \le n} (a_j - a_i) \neq 0$$
因为 $a_1,\ldots,a_{n+1}$ 两两不同，所以 $\det(B) \neq 0$，故 $\operatorname{rank}(A) \ge n$。
公式：范德蒙行列式公式：$\det\begin{pmatrix}1 & \cdots & 1 \\ x_1 & \cdots & x_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}\end{pmatrix} = \prod_{1\le i
提示：确保选取的前 $n$ 列对应的 $a_i$ 两两不同，否则行列式可能为零。
步骤 3/6
目标：求秩的上界
矩阵 $A$ 只有 $n$ 行，所以 $\operatorname{rank}(A) \le n$。结合下界，得 $\operatorname{rank}(A) = n$。
提示：行秩等于列秩，但这里行数少，秩不超过行数。
步骤 4/6
目标：确定方程组解的结构
由 $\operatorname{rank}(A)=n$，未知数个数为 $n+1$，故方程组 $AX=0$ 的基础解系含 $1$ 个解向量。因此任何非零解 $X$ 都是某个非零向量的倍数。
公式：解空间维数 = 未知数个数 - 秩 = $(n+1)-n=1$
提示：解空间维数为1意味着所有非零解成比例。
步骤 5/6
目标：反证法假设
设 $X=(x_1,\ldots,x_{n+1})'$ 是一个非零解。假设存在某个 $i$ 使得 $x_i=0$。考虑从 $A$ 中删去第 $i$ 列得到的 $n \times n$ 矩阵 $B_i$，以及从 $X$ 中删去第 $i$ 个分量得到的 $n$ 维向量 $\tilde{X}$。由于 $AX=0$，有 $B_i \tilde{X}=0$。
提示：注意删去第 $i$ 列后，$B_i$ 是 $n \times n$ 方阵。
步骤 6/6
目标：推导矛盾
$B_i$ 是范德蒙矩阵，其元素为 $a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_{n+1}$ 的幂次，这些数两两不同，故 $\det(B_i) \neq 0$，$B_i$ 可逆。由 $B_i \tilde{X}=0$ 得 $\tilde{X}=0$，即 $X$ 的所有分量均为零，与 $X$ 非零矛盾。因此假设不成立，对任意 $i$，$x_i \neq 0$。
公式：范德蒙行列式非零
提示：注意 $B_i$ 是 $n$ 阶方阵，其行列式非零是因为 $n$ 个不同的 $a$ 值。
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