华中师范大学 2024年高等代数第1题
📝 题目
1．填空题
（1）若 $\displaystyle A, B$ 均为 3 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ 且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ ，则 $B$ 的秩最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（2）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & * & * \\ 0 & 4 & * \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A^{2023}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（4）设 $\displaystyle \left(g(\lambda), f(\lambda)=1\right.$ ，且 $\displaystyle f, g$ 均为首一多项式，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}g(\lambda) & 0 \\ 0 & f(\lambda)\end{array}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（5）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准型 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（6）子空间 $\displaystyle \left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}$ 的维数 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析秩不等式
由 $AB=O$ 知 $\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)\leq 3$，因为 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，$B$ 是 $3\times 3$ 矩阵，乘积为零矩阵，秩之和不超过 $3$。已知 $\operatorname{rank}(A)=1$，所以 $\operatorname{rank}(B)\leq 2$，最大为 $2$。
公式：$\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)\leq n$（$A,B$ 为 $n$ 阶方阵且 $AB=O$）
提示：注意秩不等式成立的条件：$A$ 和 $B$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $AB=O$。
步骤 2/6
目标：计算上三角矩阵平方的迹
$A$ 为上三角矩阵，其对角线元素为 $2,4,6$。$A^2$ 的对角线元素为 $2^2=4$，$4^2=16$，$6^2=36$，所以迹为 $4+16+36=56$。
公式：$\operatorname{tr}(A^2)=\sum_{i=1}^n a_{ii}^2$（当 $A$ 为上三角矩阵时）
提示：上三角矩阵的幂的对角线元素等于原对角线元素的幂，但非对角线元素不影响迹。
步骤 3/6
目标：对角化计算矩阵幂
矩阵 $A=\begin{pmatrix}0&-1\\2&3\end{pmatrix}$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I-A)=\lambda^2-3\lambda+2=(\lambda-1)(\lambda-2)$，特征值为 $1,2$。求特征向量：对于 $\lambda=1$，解 $(I-A)v=0$ 得 $v_1=(1,1)^T$；对于 $\lambda=2$，解 $(2I-A)v=0$ 得 $v_2=(1,2)^T$。令 $P=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$，则 $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$。于是 $A^{2023}=P\begin{pmatrix}1^{2023}&0\\0&2^{2023}\end{pmatrix}P^{-1}$。计算 $P^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}$，所以 $A^{2023}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&2^{2023}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-2^{2023}&2^{2023}-1\\2-2^{2024}&2^{2024}-1\end{pmatrix}$。
公式：若 $A=PDP^{-1}$，则 $A^k=PD^kP^{-1}$
提示：注意特征向量的顺序要与对角矩阵一致，且 $P$ 可逆。计算 $P^{-1}$ 时要仔细。
步骤 4/6
目标：求多项式矩阵的Smith标准型
已知 $(g(\lambda),f(\lambda))=1$ 且 $f,g$ 为首一多项式，则存在多项式 $u(\lambda),v(\lambda)$ 使得 $u g+v f=1$。对矩阵 $\begin{pmatrix}g(\lambda)&0\\0&f(\lambda)\end{pmatrix}$ 进行初等变换：将第一行乘以 $u$ 加到第二行，再将第一列乘以 $v$ 加到第二列等，可化为 $\begin{pmatrix}1&0\\0&g(\lambda)f(\lambda)\end{pmatrix}$，即Smith标准型。
公式：互素多项式的组合得到1
提示：Smith标准型要求不变因子为首一多项式，且后一个整除前一个。这里 $1$ 整除 $gf$，所以标准型为 $\operatorname{diag}(1, gf)$。
步骤 5/6
目标：求矩阵的Jordan标准型
矩阵 $A$ 所有元素为 $1$，秩为 $1$，特征值为 $3$（单重）和 $0$（二重）。对于特征值 $0$，$\operatorname{rank}(A-0I)=\operatorname{rank}(A)=1$，所以几何重数为 $3-1=2$，等于代数重数 $2$，因此有两个 $1\times1$ 的Jordan块。特征值 $3$ 对应一个 $1\times1$ 的Jordan块。故Jordan标准型为 $\begin{pmatrix}3&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$。
公式：Jordan块的个数等于几何重数
提示：注意几何重数等于 $n-\operatorname{rank}(A-\lambda I)$，代数重数为特征值的重数。
步骤 6/6
目标：求子空间维数
子空间 $W=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_1+x_2+x_3=0\}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中过原点的平面，其基可取 $(1,-1,0)$ 和 $(1,0,-1)$，线性无关，故维数为 $2$。
公式：维数等于基向量的个数
提示：注意验证基向量是否线性无关，且满足方程。
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