华中师范大学 2024年高等代数第3题
📝 题目
3．实二次型 $\displaystyle g\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2(a+1) x_{1} x_{3}+2 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ 为正定二次型，求 $a$ 范围．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出二次型的矩阵
实二次型 $g(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2a x_1x_2+2(a+1)x_1x_3+2x_2^2+x_3^2$ 的矩阵为对称矩阵 $A$，其中 $a_{11}=1$, $a_{12}=a_{21}=a$, $a_{13}=a_{31}=a+1$, $a_{22}=2$, $a_{23}=a_{32}=0$, $a_{33}=1$。因此
$$A=\begin{pmatrix}
1 & a & a+1 \\
a & 2 & 0 \\
a+1 & 0 & 1
\end{pmatrix}.$$
公式：二次型 $f(x)=x^TAx$ 的矩阵 $A$ 满足 $a_{ij}=a_{ji}$
提示：注意交叉项系数要除以2，但这里已直接给出系数，直接对应矩阵元素即可。
步骤 2/8
目标：正定二次型的判别条件
实二次型正定的充要条件是矩阵的各阶顺序主子式大于零。即一阶顺序主子式 $\Delta_1>0$，二阶顺序主子式 $\Delta_2>0$，三阶顺序主子式 $\Delta_3>0$。
公式：正定二次型 $\Leftrightarrow$ 所有顺序主子式 $>0$
提示：注意是顺序主子式，不是所有主子式。
步骤 3/8
目标：计算一阶顺序主子式
一阶顺序主子式 $\Delta_1 = 1 > 0$，恒成立。
提示：一阶顺序主子式就是矩阵左上角元素。
步骤 4/8
目标：计算二阶顺序主子式
二阶顺序主子式 $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & a \\ a & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot 2 - a\cdot a = 2 - a^2$。要求 $\Delta_2 > 0$，即 $2 - a^2 > 0$，解得 $a^2 < 2$，即 $-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$。
公式：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
提示：注意二阶行列式的计算公式。
步骤 5/8
目标：计算三阶顺序主子式
三阶顺序主子式 $\Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & a & a+1 \\ a & 2 & 0 \\ a+1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$。按第一行展开：
$$\Delta_3 = 1\cdot\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - a\cdot\begin{vmatrix} a & 0 \\ a+1 & 1 \end{vmatrix} + (a+1)\cdot\begin{vmatrix} a & 2 \\ a+1 & 0 \end{vmatrix}.$$
计算各子式：
$$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2,\quad \begin{vmatrix} a & 0 \\ a+1 & 1 \end{vmatrix} = a,\quad \begin{vmatrix} a & 2 \\ a+1 & 0 \end{vmatrix} = -2(a+1).$$
代入得：
$$\Delta_3 = 2 - a\cdot a + (a+1)\cdot(-2(a+1)) = 2 - a^2 - 2(a+1)^2.$$
展开化简：
$$2 - a^2 - 2(a^2+2a+1) = 2 - a^2 - 2a^2 - 4a - 2 = -3a^2 - 4a.$$
公式：三阶行列式按行展开公式
提示：注意符号：展开时正负号交替，$a_{12}$ 对应负号。
步骤 6/8
目标：解三阶顺序主子式大于零的不等式
要求 $\Delta_3 > 0$，即 $-3a^2 - 4a > 0$。两边乘以 $-1$ 得 $3a^2 + 4a < 0$，即 $a(3a+4) < 0$。解得 $a$ 在两根之间：$-\frac{4}{3} < a < 0$。
公式：一元二次不等式 $a(3a+4)<0$ 的解集
提示：注意不等式两边乘以负数时不等号方向改变。
步骤 7/8
目标：综合各阶主子式条件
综合二阶和三阶条件：
$$\begin{cases} -\sqrt{2} < a < \sqrt{2}, \\ -\frac{4}{3} < a < 0. \end{cases}$$
由于 $-\frac{4}{3} \approx -1.333$，$-\sqrt{2} \approx -1.414$，故公共部分为 $-\frac{4}{3} < a < 0$。
提示：取交集时注意比较数值大小。
步骤 8/8
目标：得出最终答案
因此，$a$ 的取值范围是 $\boxed{-\frac{4}{3} < a < 0}$。
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