华中师范大学 2024年高等代数第4题
📝 题目
4．计算行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}a & 0 & b & 0 \\ 0 & c & 0 & d \\ -b & 0 & -a & 0 \\ 0 & -d & 0 & -c\end{array}\right|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：观察行列式结构
行列式 $\begin{vmatrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & c & 0 & d \\ -b & 0 & -a & 0 \\ 0 & -d & 0 & -c \end{vmatrix}$ 具有明显的分块对角结构，第1、3行和第1、3列构成一个2×2子块，第2、4行和第2、4列构成另一个2×2子块，其余元素为0。
提示：注意观察零元素的位置，便于选择简便方法。
步骤 2/8
目标：选择解法一：按第一行展开
按第一行展开：$D = a \cdot (-1)^{1+1} M_{11} + 0 \cdot (-1)^{1+2} M_{12} + b \cdot (-1)^{1+3} M_{13} + 0 \cdot (-1)^{1+4} M_{14}$，其中 $M_{11}$ 和 $M_{13}$ 是余子式。
公式：拉普拉斯展开：$\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij}$
提示：注意符号 $(-1)^{i+j}$ 的正确计算。
步骤 3/8
目标：计算第一个三阶余子式 $M_{11}$
去掉第1行和第1列，得到 $M_{11} = \begin{vmatrix} c & 0 & d \\ 0 & -a & 0 \\ -d & 0 & -c \end{vmatrix}$。按第一行展开：$c \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -a & 0 \\ 0 & -c \end{vmatrix} + 0 + d \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 0 & -a \\ -d & 0 \end{vmatrix} = c \cdot (ac) + d \cdot (0 \cdot 0 - (-a)(-d)) = ac^2 - a d^2 = a(c^2 - d^2)$。
公式：二阶行列式公式：$\begin{vmatrix} p & q \\ r & s \end{vmatrix} = ps - qr$
提示：注意符号：$(-1)^{1+3}=1$，但计算二阶行列式时注意 $0 \cdot 0 - (-a)(-d) = -ad$。
步骤 4/8
目标：计算第二个三阶余子式 $M_{13}$
去掉第1行和第3列，得到 $M_{13} = \begin{vmatrix} 0 & c & d \\ -b & 0 & 0 \\ 0 & -d & -c \end{vmatrix}$。按第一行展开：$0 + c \cdot (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -b & 0 \\ 0 & -c \end{vmatrix} + d \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} -b & 0 \\ 0 & -d \end{vmatrix} = c \cdot (-1) \cdot (bc) + d \cdot 1 \cdot (bd) = -bc^2 + b d^2 = b(d^2 - c^2)$。
公式：二阶行列式公式
提示：注意 $(-1)^{1+2} = -1$，$(-1)^{1+3}=1$。
步骤 5/8
目标：组合得到行列式值
代入展开式：$D = a \cdot a(c^2 - d^2) + b \cdot b(d^2 - c^2) = a^2(c^2 - d^2) + b^2(d^2 - c^2) = (a^2 - b^2)(c^2 - d^2)$。
公式：因式分解：$a^2(c^2-d^2) + b^2(d^2-c^2) = (a^2-b^2)(c^2-d^2)$
提示：注意提取公因式时符号变化。
步骤 6/8
目标：解法二：利用分块行列式
将行列式按第1、3行和第1、3列分块，得到 $\begin{vmatrix} A & 0 \\ 0 & D \end{vmatrix}$，其中 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & -a \end{pmatrix}$，$D = \begin{pmatrix} c & d \\ -d & -c \end{pmatrix}$。则 $\det = \det(A) \cdot \det(D)$。
公式：分块对角行列式：$\begin{vmatrix} A & 0 \\ 0 & D \end{vmatrix} = \det(A) \det(D)$
提示：确保分块正确，零块必须为0矩阵。
步骤 7/8
目标：计算两个2×2子块的行列式
$\det(A) = a \cdot (-a) - b \cdot (-b) = -a^2 + b^2 = b^2 - a^2$，$\det(D) = c \cdot (-c) - d \cdot (-d) = -c^2 + d^2 = d^2 - c^2$。
公式：二阶行列式公式
提示：注意符号：$a \cdot (-a) = -a^2$，$b \cdot (-b) = -b^2$，但减号后为 $-b^2$，实际计算为 $(-a^2) - (-b^2) = -a^2 + b^2$。
步骤 8/8
目标：得到最终结果
相乘得 $\det = (b^2 - a^2)(d^2 - c^2) = (a^2 - b^2)(c^2 - d^2)$。
公式：因式分解：$(b^2-a^2)(d^2-c^2) = (a^2-b^2)(c^2-d^2)$
提示：注意负号的处理：$(b^2-a^2) = -(a^2-b^2)$，$(d^2-c^2) = -(c^2-d^2)$，乘积负负得正。
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