华中师范大学 2024年高等代数第5题
📝 题目
5．实矩阵 $A$ 的前 $r$ 列是 $A$ 列向量的极大无关组当且仅当 $\displaystyle A^{\prime} A$ 的前 $r$ 列是 $\displaystyle A^{\prime} A$ 的极大线性无关组．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定符号与基本关系
设 $A$ 是 $m \times n$ 实矩阵，其列向量为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \in \mathbb{R}^m$。考虑 $A' A$ 是 $n \times n$ 实对称矩阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $\alpha_i' \alpha_j$。记 $\beta_i = (\alpha_1' \alpha_i, \dots, \alpha_n' \alpha_i)'$ 为 $A'A$ 的第 $i$ 列。
公式：$\beta_i = (\alpha_1' \alpha_i, \dots, \alpha_n' \alpha_i)'$
提示：注意 $\beta_i$ 是列向量，维度为 $n$。
步骤 2/6
目标：必要性：证明 $\beta_1,\dots,\beta_r$ 线性无关
假设 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 是 $A$ 的列向量的极大无关组，则它们线性无关。设 $\sum_{i=1}^r \lambda_i \beta_i = 0$，则对每个 $k=1,\dots,n$ 有 $\sum_{i=1}^r \lambda_i \alpha_k' \alpha_i = 0$。特别地，取 $k=1,\dots,r$，得 $\sum_{i=1}^r \lambda_i \alpha_k' \alpha_i = 0$。令 $\gamma = \sum_{i=1}^r \lambda_i \alpha_i$，则 $\alpha_k' \gamma = 0$ 对 $k=1,\dots,r$。从而 $\gamma' \gamma = \sum_{k=1}^r \lambda_k \alpha_k' \gamma = 0$，故 $\gamma=0$。由 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 线性无关得 $\lambda_i=0$，所以 $\beta_1,\dots,\beta_r$ 线性无关。
公式：$\gamma = \sum_{i=1}^r \lambda_i \alpha_i$，$\gamma'\gamma = 0 \Rightarrow \gamma=0$
提示：注意 $\gamma'\gamma = 0$ 当且仅当 $\gamma=0$，因为实向量内积非负。
步骤 3/6
目标：必要性：证明每个 $\beta_j (j>r)$ 可由 $\beta_1,\dots,\beta_r$ 线性表示
对 $j>r$，由于 $\alpha_j$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 线性表示，设 $\alpha_j = \sum_{k=1}^r c_{kj} \alpha_k$。则对任意 $i$，$\alpha_i' \alpha_j = \sum_{k=1}^r c_{kj} \alpha_i' \alpha_k$，即 $\beta_j = \sum_{k=1}^r c_{kj} \beta_k$。故 $\beta_j$ 可由 $\beta_1,\dots,\beta_r$ 线性表示。因此 $\beta_1,\dots,\beta_r$ 是 $A'A$ 的列向量的极大无关组。
公式：$\alpha_j = \sum_{k=1}^r c_{kj} \alpha_k \Rightarrow \beta_j = \sum_{k=1}^r c_{kj} \beta_k$
提示：注意线性表示的系数相同。
步骤 4/6
目标：充分性：证明 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 线性无关
假设 $\beta_1,\dots,\beta_r$ 是 $A'A$ 的列向量的极大无关组，则它们线性无关。若 $\sum_{i=1}^r \lambda_i \alpha_i = 0$，则左乘 $\alpha_k'$ 得 $\sum_{i=1}^r \lambda_i \alpha_k' \alpha_i = 0$ 对 $k=1,\dots,r$，即 $\sum_{i=1}^r \lambda_i \beta_i$ 的第 $k$ 分量为0。但 $\beta_1,\dots,\beta_r$ 线性无关，故 $\lambda_i=0$，所以 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 线性无关。
公式：$\sum_{i=1}^r \lambda_i \alpha_i = 0 \Rightarrow \sum_{i=1}^r \lambda_i \beta_i = 0$
提示：这里利用了 $\beta_i$ 的前 $r$ 个分量与 $\alpha_k'\alpha_i$ 的关系。
步骤 5/6
目标：充分性：证明每个 $\alpha_j (j>r)$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 线性表示
对 $j>r$，存在系数 $c_{kj}$ 使得 $\beta_j = \sum_{k=1}^r c_{kj} \beta_k$，即对任意 $i$，$\alpha_i' \alpha_j = \sum_{k=1}^r c_{kj} \alpha_i' \alpha_k$。令 $\gamma = \alpha_j - \sum_{k=1}^r c_{kj} \alpha_k$，则对任意 $i$，$\alpha_i' \gamma = 0$。特别地，取 $i=1,\dots,r$，得 $\alpha_i' \gamma = 0$。又因为 $\gamma' \gamma = \gamma' (\alpha_j - \sum c_{kj} \alpha_k) = \gamma' \alpha_j - \sum c_{kj} \gamma' \alpha_k$。由于 $\gamma' \alpha_i = 0$ 对 $i=1,\dots,r$，且 $\alpha_j' \gamma = \alpha_j' \alpha_j - \sum c_{kj} \alpha_j' \alpha_k$，由 $\beta_j = \sum c_{kj} \beta_k$ 知 $\alpha_j' \alpha_j = \sum c_{kj} \alpha_j' \alpha_k$，故 $\alpha_j' \gamma = 0$。因此 $\gamma' \gamma = 0$，从而 $\gamma=0$，即 $\alpha_j = \sum_{k=1}^r c_{kj} \alpha_k$。所以 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 是 $A$ 的列向量的极大无关组。
公式：$\gamma = \alpha_j - \sum_{k=1}^r c_{kj} \alpha_k$，$\gamma'\gamma=0 \Rightarrow \gamma=0$
提示：注意 $\gamma'\gamma=0$ 的推导中需要用到 $\alpha_j'\gamma=0$，这由 $\beta_j$ 的线性表示得到。
步骤 6/6
目标：总结
综上，实矩阵 $A$ 的前 $r$ 列是 $A$ 列向量的极大无关组当且仅当 $A'A$ 的前 $r$ 列是 $A'A$ 的极大线性无关组。
提示：注意该结论仅对实矩阵成立，因为用到了内积的正定性。
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