华中师范大学 2024年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为不可逆线性变换，证明：存在线性变换 $\displaystyle \mathscr{B} \neq 0$ 满足 $\displaystyle \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析不可逆线性变换的性质
设 $\mathscr{A}$ 是向量空间 $V$ 上的不可逆线性变换，则 $\mathscr{A}$ 不是单射也不是满射。因此 $\ker \mathscr{A} \neq \{0\}$ 且 $\operatorname{Im} \mathscr{A} \neq V$。
提示：注意不可逆等价于行列式为0，但这里更一般地考虑线性变换的核与像。
步骤 2/6
目标：构造非零向量和线性函数
由于 $\ker \mathscr{A} \neq \{0\}$，存在非零向量 $\alpha \in \ker \mathscr{A}$，即 $\mathscr{A}\alpha = 0$。又因为 $\operatorname{Im} \mathscr{A} \neq V$，存在向量 $\beta \notin \operatorname{Im} \mathscr{A}$。取一个线性函数 $f: V \to \mathbb{F}$ 满足 $f(\beta)=1$ 且 $f(\operatorname{Im} \mathscr{A})=0$（由线性函数的存在性定理，这样的 $f$ 存在）。
公式：$\mathscr{A}\alpha = 0$
提示：线性函数 $f$ 的存在性依赖于基的扩充，确保 $f$ 在像空间上为零。
步骤 3/6
目标：定义线性变换 $\mathscr{B}$
定义 $\mathscr{B}: V \to V$ 为 $\mathscr{B}(v) = f(v)\alpha$。由于 $f$ 是线性函数，$\mathscr{B}$ 是线性变换。因为 $\alpha \neq 0$ 且 $f(\beta)=1$，所以 $\mathscr{B}(\beta)=\alpha \neq 0$，故 $\mathscr{B} \neq 0$。
公式：$\mathscr{B}(v) = f(v)\alpha$
提示：验证 $\mathscr{B}$ 非零：取 $v=\beta$ 即可。
步骤 4/6
目标：验证 $\mathscr{A}\mathscr{B}=0$
对任意 $v \in V$，$\mathscr{A}\mathscr{B}(v) = \mathscr{A}(f(v)\alpha) = f(v)\mathscr{A}\alpha = f(v)\cdot 0 = 0$。因此 $\mathscr{A}\mathscr{B}=0$。
公式：$\mathscr{A}\mathscr{B}(v)=f(v)\mathscr{A}\alpha$
提示：注意 $\alpha \in \ker \mathscr{A}$。
步骤 5/6
目标：验证 $\mathscr{B}\mathscr{A}=0$
对任意 $v \in V$，$\mathscr{B}\mathscr{A}(v) = f(\mathscr{A}v)\alpha$。由于 $\mathscr{A}v \in \operatorname{Im} \mathscr{A}$，而 $f$ 在 $\operatorname{Im} \mathscr{A}$ 上为零，所以 $f(\mathscr{A}v)=0$，从而 $\mathscr{B}\mathscr{A}(v)=0$。因此 $\mathscr{B}\mathscr{A}=0$。
公式：$\mathscr{B}\mathscr{A}(v)=f(\mathscr{A}v)\alpha$
提示：关键：$f$ 在像空间上为零。
步骤 6/6
目标：总结结论
我们构造了非零线性变换 $\mathscr{B}$ 满足 $\mathscr{A}\mathscr{B}=\mathscr{B}\mathscr{A}=0$，命题得证。
提示：注意 $\mathscr{B}$ 的构造依赖于 $\ker \mathscr{A} \neq \{0\}$ 和 $\operatorname{Im} \mathscr{A} \neq V$，两者缺一不可。
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