📝 华中师范大学 2024年高等代数真题

1．填空题
（1）若 $\displaystyle A, B$ 均为 3 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ 且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ ，则 $B$ 的秩最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（2）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & * & * \\ 0 & 4 & * \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A^{2023}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（4）设 $\displaystyle \left(g(\lambda), f(\lambda)=1\right.$ ，且 $\displaystyle f, g$ 均为首一多项式，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}g(\lambda) & 0 \\ 0 & f(\lambda)\end{array}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（5）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准型 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（6）子空间 $\displaystyle \left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}$ 的维数 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3．实二次型 $\displaystyle g\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2(a+1) x_{1} x_{3}+2 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ 为正定二次型，求 $a$ 范围．

4．计算行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}a & 0 & b & 0 \\ 0 & c & 0 & d \\ -b & 0 & -a & 0 \\ 0 & -d & 0 & -c\end{array}\right|$ ．

5．实矩阵 $A$ 的前 $r$ 列是 $A$ 列向量的极大无关组当且仅当 $\displaystyle A^{\prime} A$ 的前 $r$ 列是 $\displaystyle A^{\prime} A$ 的极大线性无关组．

6．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为不可逆线性变换，证明：存在线性变换 $\displaystyle \mathscr{B} \neq 0$ 满足 $\displaystyle \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}=0$ ．

7．若 $\displaystyle Q \in M_{n}(\mathbb{C}), Q \overline{Q^{\prime}}=E_{n \times n}$ ，证明：$Q$ 特征值模长为 1 ．举例说明 $\displaystyle \exists P \in M_{2}(\mathbb{C})$ 的特征值模长为 1 ，但 $\displaystyle P \bar{P}^{\prime} \neq E_{2 \times 2}$ ．