华中师范大学 2024年高等代数第7题
📝 题目
7．若 $\displaystyle Q \in M_{n}(\mathbb{C}), Q \overline{Q^{\prime}}=E_{n \times n}$ ，证明：$Q$ 特征值模长为 1 ．举例说明 $\displaystyle \exists P \in M_{2}(\mathbb{C})$ 的特征值模长为 1 ，但 $\displaystyle P \bar{P}^{\prime} \neq E_{2 \times 2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解条件并推导可逆性
已知 $Q \in M_n(\mathbb{C})$ 满足 $Q \overline{Q'} = E_n$。由于 $\overline{Q'}$ 是 $Q$ 的共轭转置，该等式表明 $Q$ 可逆且 $Q^{-1} = \overline{Q'}$。
公式：$Q \overline{Q'} = E_n$
提示：注意 $\overline{Q'}$ 是共轭转置，不要与转置混淆。
步骤 2/7
目标：设特征值和特征向量
设 $\lambda$ 是 $Q$ 的任一特征值，$x \neq 0$ 为对应的特征向量，即 $Qx = \lambda x$。
公式：$Qx = \lambda x$
提示：特征向量非零。
步骤 3/7
目标：取共轭转置并右乘
对 $Qx = \lambda x$ 两边取共轭转置，得 $\overline{x'} \overline{Q'} = \overline{\lambda} \overline{x'}$。然后右乘 $Q$，得 $\overline{x'} \overline{Q'} Q = \overline{\lambda} \overline{x'} Q$。
公式：$\overline{x'} \overline{Q'} = \overline{\lambda} \overline{x'}$
提示：共轭转置运算顺序：$(AB)' = B'A'$，共轭类似。
步骤 4/7
目标：利用条件简化
由 $Q \overline{Q'} = E$ 可得 $\overline{Q'} = Q^{-1}$，因此 $\overline{Q'} Q = E$。代入上式得 $\overline{x'} = \overline{\lambda} \overline{x'} Q$。
公式：$\overline{Q'} Q = E$
提示：注意 $\overline{Q'} Q = E$ 是由 $Q \overline{Q'} = E$ 两边取共轭转置得到，但这里直接利用可逆性。
步骤 5/7
目标：代入特征方程
将 $Qx = \lambda x$ 代入 $\overline{x'} = \overline{\lambda} \overline{x'} Q$ 中的 $Q$，得 $\overline{x'} = \overline{\lambda} \overline{x'} (\lambda x) = |\lambda|^2 \overline{x'} x$。
公式：$\overline{x'} = |\lambda|^2 \overline{x'} x$
提示：注意 $\overline{x'} x$ 是内积，为实数且正数。
步骤 6/7
目标：推导模长为1
由于 $\overline{x'} x = \|x\|^2 > 0$，两边除以 $\overline{x'} x$ 得 $1 = |\lambda|^2$，即 $|\lambda| = 1$。
公式：$1 = |\lambda|^2$
提示：特征向量非零保证内积为正。
步骤 7/7
目标：构造反例
取 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，其特征值为 $1$（二重），模长为 $1$。计算 $P \overline{P'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \neq E_2$。
公式：$P \overline{P'} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
提示：注意 $\overline{P'}$ 是共轭转置，由于 $P$ 是实矩阵，共轭转置即为转置。
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