南京师范大学 2012年高等代数第7题

设 $\dim V = n$，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换。记 $\operatorname{Im}\sigma = \sigma(V)$，$\operatorname{Ker}\sigma = \sigma^{-1}(0)$。由维数公式，$\dim\operatorname{Im}\sigma + \dim\operatorname{Ker}\sigma = n$。令 $r = \dim\operatorname{Im}\sigma$，则 $\dim\operatorname{Ker}\sigma = n-r$。

取 $\operatorname{Im}\sigma$ 的一组基 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$。由于 $\alpha_i \in \operatorname{Im}\sigma$，存在 $\beta_i \in V$ 使得 $\sigma(\beta_i) = \alpha_i$，$i=1,\dots,r$。这些 $\beta_i$ 称为 $\alpha_i$ 的原像。

取 $\operatorname{Ker}\sigma$ 的一组基 $\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_{n-r}$。

设 $\sum_{i=1}^r a_i \beta_i + \sum_{j=1}^{n-r} b_j \gamma_j = 0$。两边作用 $\sigma$ 得 $\sum_{i=1}^r a_i \sigma(\beta_i) = \sum_{i=1}^r a_i \alpha_i = 0$。由于 $\alpha_i$ 线性无关，故 $a_i = 0$。代入原式得 $\sum_{j=1}^{n-r} b_j \gamma_j = 0$，又 $\gamma_j$ 线性无关，故 $b_j = 0$。所以向量组线性无关。

任取 $v \in V$，则 $\sigma(v) \in \operatorname{Im}\sigma$，故存在 $c_i$ 使得 $\sigma(v) = \sum_{i=1}^r c_i \alpha_i = \sum_{i=1}^r c_i \sigma(\beta_i)$。于是 $\sigma(v - \sum_{i=1}^r c_i \beta_i) = 0$，即 $v - \sum_{i=1}^r c_i \beta_i \in \operatorname{Ker}\sigma$。因此存在 $d_j$ 使得 $v - \sum_{i=1}^r c_i \beta_i = \sum_{j=1}^{n-r} d_j \gamma_j$，即 $v = \sum_{i=1}^r c_i \beta_i + \sum_{j=1}^{n-r} d_j \gamma_j$。所以向量组生成 $V$。

由线性无关性和生成性可知，$\beta_1, \dots, \beta_r, \gamma_1, \dots, \gamma_{n-r}$ 是 $V$ 的一组基。即 $\sigma(V)$ 的一组基的原像与 $\sigma^{-1}(0)$ 的一组基合起来构成 $V$ 的一组基。