南京师范大学 2018年高等代数第3题
📝 题目
3．（15 分）解非齐次线性方程组：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+2 x_{4}-x_{5}=-4 \\
-3 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}-5 x_{4}-4 x_{5}=-1 \\
2 x_{1}-3 x_{2}-x_{3}-x_{4}+x_{5}=4 \\
-4 x_{1}+16 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}-9 x_{5}=-21
\end{array}\right.
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出增广矩阵
将方程组写成增广矩阵形式：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 2 & -1 & -4 \\
-3 & 1 & 2 & -5 & -4 & -1 \\
2 & -3 & -1 & -1 & 1 & 4 \\
-4 & 16 & 1 & 3 & -9 & -21
\end{pmatrix}
\]
提示：注意常数项放在最后一列，不要遗漏负号。
步骤 2/6
目标：初等行变换消去第一列
对增广矩阵进行行变换：
\(r_2 + 3r_1\), \(r_3 - 2r_1\), \(r_4 + 4r_1\)，得到：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 2 & -1 & -4 \\
0 & 10 & -1 & 1 & -7 & -13 \\
0 & -9 & 1 & -5 & 3 & 12 \\
0 & 28 & -3 & 11 & -13 & -37
\end{pmatrix}
\]
提示：注意行变换时，常数项也要参与运算。
步骤 3/6
目标：交换行并继续消元
交换第二行和第三行（\(r_2 \leftrightarrow r_3\)）以便消元：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 2 & -1 & -4 \\
0 & -9 & 1 & -5 & 3 & 12 \\
0 & 10 & -1 & 1 & -7 & -13 \\
0 & 28 & -3 & 11 & -13 & -37
\end{pmatrix}
\]
然后进行 \(r_3 + \frac{10}{9}r_2\) 和 \(r_4 + \frac{28}{9}r_2\)：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 2 & -1 & -4 \\
0 & -9 & 1 & -5 & 3 & 12 \\
0 & 0 & \frac{1}{9} & -\frac{41}{9} & -\frac{33}{9} & \frac{3}{9} \\
0 & 0 & \frac{1}{9} & -\frac{41}{9} & -\frac{33}{9} & \frac{3}{9}
\end{pmatrix}
\]
提示：分数运算要小心，可以保留分数形式。
步骤 4/6
目标：化简并消去第三列
用 \(r_4 - r_3\) 消去第四行第三列：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 2 & -1 & -4 \\
0 & -9 & 1 & -5 & 3 & 12 \\
0 & 0 & \frac{1}{9} & -\frac{41}{9} & -\frac{11}{3} & \frac{1}{3} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
将第三行乘以9：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 2 & -1 & -4 \\
0 & -9 & 1 & -5 & 3 & 12 \\
0 & 0 & 1 & -41 & -33 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
提示：注意第三行乘以9后，其他行不变。
步骤 5/6
目标：化为行最简形
进行 \(r_2 - r_3\) 和 \(r_1 + r_3\)：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & -39 & -34 & -1 \\
0 & -9 & 0 & 36 & 36 & 9 \\
0 & 0 & 1 & -41 & -33 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
将第二行除以-9：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & -39 & -34 & -1 \\
0 & 1 & 0 & -4 & -4 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -41 & -33 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
最后 \(r_1 - 3r_2\)：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -27 & -22 & 2 \\
0 & 1 & 0 & -4 & -4 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -41 & -33 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
提示：行最简形要求主元为1且主元所在列其他元素为0。
步骤 6/6
目标：写出通解
由行最简形得到方程组：
\[
\begin{cases}
x_1 - 27x_4 - 22x_5 = 2 \\
x_2 - 4x_4 - 4x_5 = -1 \\
x_3 - 41x_4 - 33x_5 = 3
\end{cases}
\]
取自由变量 \(x_4 = c_1\), \(x_5 = c_2\)，得通解：
\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \\ -1 \\ 3 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_1
\begin{pmatrix}
27 \\ 4 \\ 41 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_2
\begin{pmatrix}
22 \\ 4 \\ 33 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix},
\quad c_1, c_2 \in \mathbb{R}.
\]
提示：自由变量可以任意取值，通解中特解与齐次解的结构要清晰。
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