📝 南京师范大学 2018年高等代数真题
第1题
1．（15 分）叙述并且证明克拉默（Cramer）法则．
第2题
2．（20分）每小题 10 分）计算行列式
（1）$\displaystyle D=\left|\begin{array}{cccc}a & b & c & d \\ -b & a & d & -c \\ -c & -d & a & b \\ -d & c & -b & a\end{array}\right|$ ；
（2）$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}3 & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 3\end{array}\right|$ ．
（1）$\displaystyle D=\left|\begin{array}{cccc}a & b & c & d \\ -b & a & d & -c \\ -c & -d & a & b \\ -d & c & -b & a\end{array}\right|$ ；
（2）$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}3 & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 3\end{array}\right|$ ．
第3题
3．（15 分）解非齐次线性方程组：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+2 x_{4}-x_{5}=-4 \\
-3 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}-5 x_{4}-4 x_{5}=-1 \\
2 x_{1}-3 x_{2}-x_{3}-x_{4}+x_{5}=4 \\
-4 x_{1}+16 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}-9 x_{5}=-21
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+2 x_{4}-x_{5}=-4 \\
-3 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}-5 x_{4}-4 x_{5}=-1 \\
2 x_{1}-3 x_{2}-x_{3}-x_{4}+x_{5}=4 \\
-4 x_{1}+16 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}-9 x_{5}=-21
\end{array}\right.
$$
第4题
4．（20 分）设 $n$ 为正整数，令矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle A^{n}$ ．
第5题
5．（15 分）设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \in V$ 是一个给定的非零向量，定义 $V$ 中的变换 $\displaystyle \sigma(v)=v-\frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha$ ，称为由 $\displaystyle \alpha$ 确定的镜面反射．
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的对称变换；（2）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的正交变换，并且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$（恒等变换）；（3）确定 $\displaystyle \sigma$ 在一个标准正交基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=\frac{\alpha}{|\alpha|}$ ．
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的对称变换；（2）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的正交变换，并且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$（恒等变换）；（3）确定 $\displaystyle \sigma$ 在一个标准正交基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=\frac{\alpha}{|\alpha|}$ ．
第6题
6．（15 分）设 $n$ 为大于 1 的正整数，对每个正整数 $\displaystyle i, i=1,2, \cdots, n$ ，定义 $n$ 维实向量
$$
\alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)
$$
满足条件：$\displaystyle a_{i i}>0 ; a_{i j}<0$ ，如果 $\displaystyle j \neq i$ ；并且 $\displaystyle a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0$ ．证明：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．
$$
\alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)
$$
满足条件：$\displaystyle a_{i i}>0 ; a_{i j}<0$ ，如果 $\displaystyle j \neq i$ ；并且 $\displaystyle a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0$ ．证明：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．
第7题
7．（10 分）设 $p$ 为奇素数，多项式 $\displaystyle f(x)=(p-1) x^{p-2}+(p-2) x^{p-3}+\cdots+2 x+1$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数
域上不可约．
域上不可约．
第8题
8．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 级方阵，满足 $\displaystyle A B-B A$ 的秩为 1 ，证明：$\displaystyle (A B-B A)^{2}=0$ ．
第9题
9．（10分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $n$ 个不同的正实数，证明：下列 $n$ 级方阵
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{a_{1}+a_{1}} & \frac{1}{a_{1}+a_{2}} & \cdots & \frac{1}{a_{1}+a_{n}} \\ \frac{1}{a_{2}+a_{1}} & \frac{1}{a_{2}+a_{2}} & \cdots & \frac{1}{a_{2}+a_{n}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{1}{a_{n}+a_{1}} & \frac{1}{a_{n}+a_{2}} & \cdots & \frac{1}{a_{n}+a_{n}}\end{array}\right)$ 是正定矩阵。
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{a_{1}+a_{1}} & \frac{1}{a_{1}+a_{2}} & \cdots & \frac{1}{a_{1}+a_{n}} \\ \frac{1}{a_{2}+a_{1}} & \frac{1}{a_{2}+a_{2}} & \cdots & \frac{1}{a_{2}+a_{n}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{1}{a_{n}+a_{1}} & \frac{1}{a_{n}+a_{2}} & \cdots & \frac{1}{a_{n}+a_{n}}\end{array}\right)$ 是正定矩阵。
第10题
10．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 级方阵，证明：$\displaystyle (A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ 。注记：$\displaystyle T^{*}$ 表示方阵 $T$ 的伴随矩阵。