南京师范大学 2018年高等代数第8题
📝 题目
8．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 级方阵，满足 $\displaystyle A B-B A$ 的秩为 1 ，证明：$\displaystyle (A B-B A)^{2}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入记号并分析秩条件
设 $C = AB - BA$，则 $\operatorname{rank}(C) = 1$。要证 $C^2 = 0$。
提示：注意秩为1的矩阵可以分解为列向量与行向量的乘积。
步骤 2/6
目标：将秩1矩阵分解为向量外积
由于 $\operatorname{rank}(C) = 1$，存在非零列向量 $\alpha, \beta \in P^n$ 使得 $C = \alpha \beta^T$。
公式：$C = \alpha \beta^T$
提示：分解不唯一，但存在性保证。
步骤 3/6
目标：计算C的平方
计算 $C^2 = (\alpha \beta^T)(\alpha \beta^T) = \alpha (\beta^T \alpha) \beta^T = (\beta^T \alpha) \alpha \beta^T = (\beta^T \alpha) C$。
公式：$C^2 = (\beta^T \alpha) C$
提示：注意矩阵乘法结合律，$\beta^T \alpha$ 是一个标量。
步骤 4/6
目标：将标量表示为迹
注意到 $\beta^T \alpha = \operatorname{tr}(\alpha \beta^T) = \operatorname{tr}(C)$。
公式：$\beta^T \alpha = \operatorname{tr}(C)$
提示：迹的性质：$\operatorname{tr}(uv^T) = v^T u$。
步骤 5/6
目标：利用迹的循环性质计算tr(C)
由 $C = AB - BA$，有 $\operatorname{tr}(C) = \operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) - \operatorname{tr}(BA) = 0$。
公式：$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$
提示：迹的循环性质：$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$，即使矩阵不可交换。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此 $\beta^T \alpha = 0$，从而 $C^2 = 0 \cdot C = 0$，即 $(AB - BA)^2 = 0$。
提示：注意零矩阵的表示。
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