南京师范大学 2018年高等代数第9题
📝 题目
9．（10分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $n$ 个不同的正实数，证明：下列 $n$ 级方阵
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{a_{1}+a_{1}} & \frac{1}{a_{1}+a_{2}} & \cdots & \frac{1}{a_{1}+a_{n}} \\ \frac{1}{a_{2}+a_{1}} & \frac{1}{a_{2}+a_{2}} & \cdots & \frac{1}{a_{2}+a_{n}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{1}{a_{n}+a_{1}} & \frac{1}{a_{n}+a_{2}} & \cdots & \frac{1}{a_{n}+a_{n}}\end{array}\right)$ 是正定矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题：证明矩阵正定
设 $A = (a_{ij})$，其中 $a_{ij} = \frac{1}{a_i + a_j}$，且 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 是 $n$ 个不同的正实数。要证明 $A$ 是正定矩阵，即对任意非零向量 $\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)^T \in \mathbb{R}^n$，有二次型 $f(\mathbf{x}) = \sum_{i,j=1}^n \frac{x_i x_j}{a_i + a_j} > 0$。
提示：注意正定矩阵的定义：对称且所有顺序主子式大于0，或二次型恒正。这里采用二次型方法。
步骤 2/6
目标：利用积分表示将有理函数转化为指数函数
注意到对于 $a_i + a_j > 0$，有恒等式：
$$
\frac{1}{a_i + a_j} = \int_0^{+\infty} e^{-(a_i + a_j)t} \, dt.
$$
这是因为 $\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} dt = \frac{1}{\alpha}$ 对 $\alpha > 0$ 成立。
公式：\frac{1}{\alpha} = \int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} dt, \quad \alpha > 0
提示：确保 $a_i + a_j > 0$，由于 $a_i$ 为正实数，条件成立。积分收敛性需注意。
步骤 3/6
目标：将二次型表示为积分形式
代入积分表示，二次型变为：
$$
f(\mathbf{x}) = \sum_{i,j=1}^n x_i x_j \int_0^{+\infty} e^{-(a_i + a_j)t} \, dt = \int_0^{+\infty} \sum_{i,j=1}^n x_i x_j e^{-a_i t} e^{-a_j t} \, dt.
$$
交换求和与积分次序（由一致收敛性保证），得：
$$
f(\mathbf{x}) = \int_0^{+\infty} \left( \sum_{i=1}^n x_i e^{-a_i t} \right)^2 \, dt.
$$
公式：\left( \sum_{i=1}^n x_i e^{-a_i t} \right)^2 = \sum_{i,j} x_i x_j e^{-(a_i + a_j)t}
提示：交换积分与求和次序需验证被积函数非负且积分一致收敛，这里由于指数衰减，条件满足。
步骤 4/6
目标：分析被积函数的非负性与非零性
被积函数 $\left( \sum_{i=1}^n x_i e^{-a_i t} \right)^2 \geq 0$ 对所有 $t \geq 0$ 成立。若 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，由于 $a_i$ 互不相同，函数 $\sum_{i=1}^n x_i e^{-a_i t}$ 是不同指数函数的线性组合，线性无关，因此不恒为零。即存在某个 $t_0$ 使得该函数非零，从而被积函数在 $t_0$ 附近为正。
提示：指数函数 $e^{-a_i t}$ 的线性无关性：若 $\sum c_i e^{-a_i t} \equiv 0$，则所有 $c_i=0$。这是因为不同指数函数是线性无关的。
步骤 5/6
目标：得出积分大于零的结论
由于被积函数连续且非负，且在某个区间上为正，因此积分 $\int_0^{+\infty} \left( \sum_{i=1}^n x_i e^{-a_i t} \right)^2 dt > 0$。故对任意非零向量 $\mathbf{x}$，有 $f(\mathbf{x}) > 0$，即二次型正定，从而矩阵 $A$ 正定。
提示：注意积分区间无穷，但被积函数指数衰减，积分收敛。正定性需对所有非零向量成立。
步骤 6/6
目标：总结证明
综上，通过积分表示将矩阵元素转化为指数函数的积分，并利用指数函数的线性无关性，证明了二次型恒正，因此矩阵 $A$ 是正定矩阵。
提示：另一种方法：构造矩阵 $B = (e^{-a_i t})$，则 $A = \int_0^{+\infty} B B^T dt$，由 $B B^T$ 半正定且积分正定得证。
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