南京师范大学 2018年高等代数第10题
📝 题目
10．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 级方阵，证明：$\displaystyle (A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ 。注记：$\displaystyle T^{*}$ 表示方阵 $T$ 的伴随矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入符号和定义
设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$，$B=(b_{ij})_{n\times n}$，$C=AB=(c_{ij})_{n\times n}$，其中 $c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$。伴随矩阵 $C^*=(C_{ji})$，其中 $C_{ji}$ 是 $c_{ji}$ 的代数余子式。需要证明 $(AB)^*=B^*A^*$，即 $C_{ji}=\sum_{k=1}^n (B^*)_{ik}(A^*)_{kj}$，其中 $(B^*)_{ik}=B_{ki}$，$(A^*)_{kj}=A_{jk}$。
公式：c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}
提示：注意伴随矩阵的定义：$(T^*)_{ij}=T_{ji}$，即代数余子式的转置。
步骤 2/5
目标：可逆情形：利用逆矩阵表示
若 $A$ 和 $B$ 可逆，则 $A^*=\det(A)A^{-1}$，$B^*=\det(B)B^{-1}$。于是 $(AB)^*=\det(AB)(AB)^{-1}=\det(A)\det(B)B^{-1}A^{-1}=B^*A^*$。
公式：A^*=\det(A)A^{-1}
提示：此公式仅当矩阵可逆时成立。
步骤 3/5
目标：不可逆情形：引入扰动参数
若 $A$ 或 $B$ 不可逆，考虑多项式 $f(t)=\det(A+tI)$ 和 $g(t)=\det(B+tI)$，它们只有有限个根。取 $t$ 使得 $A+tI$ 和 $B+tI$ 可逆，则 $( (A+tI)(B+tI) )^* = (B+tI)^* (A+tI)^*$。
公式：f(t)=\det(A+tI),\quad g(t)=\det(B+tI)
提示：注意 $t$ 的选取要避开多项式的根，保证可逆性。
步骤 4/5
目标：多项式恒等与极限
等式两边都是关于 $t$ 的多项式矩阵（因为伴随矩阵的元素是行列式，是多项式）。因此该等式对无穷多个 $t$ 成立，故为恒等式。令 $t\to0$，由连续性得 $(AB)^*=B^*A^*$。
提示：伴随矩阵的元素是多项式，因此关于 $t$ 连续。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，无论 $A,B$ 是否可逆，均有 $(AB)^*=B^*A^*$。
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