南京师范大学 2018年高等代数第7题
📝 题目
7．（10 分）设 $p$ 为奇素数，多项式 $\displaystyle f(x)=(p-1) x^{p-2}+(p-2) x^{p-3}+\cdots+2 x+1$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数
域上不可约．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别多项式关系
注意到 $f(x) = (p-1)x^{p-2}+(p-2)x^{p-3}+\cdots+2x+1$ 是多项式 $g(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$ 的导数，即 $f(x)=g'(x)$。而 $g(x)=\frac{x^p-1}{x-1}$。
公式：g(x)=\frac{x^p-1}{x-1}
提示：确认求导正确，注意常数项1的导数为0。
步骤 2/6
目标：平移变换
考虑平移后的多项式 $h(x)=g(x+1)=\frac{(x+1)^p-1}{x}$。展开 $(x+1)^p=\sum_{k=0}^p \binom{p}{k}x^k$，则 $(x+1)^p-1=\sum_{k=1}^p \binom{p}{k}x^k$，所以 $h(x)=\sum_{k=1}^p \binom{p}{k}x^{k-1}=\binom{p}{1}+\binom{p}{2}x+\cdots+\binom{p}{p}x^{p-1}$。
公式：h(x)=\sum_{k=1}^p \binom{p}{k}x^{k-1}
提示：注意 $\binom{p}{p}=1$。
步骤 3/6
目标：求导得到新多项式
对 $h(x)$ 求导得 $h'(x)=\sum_{k=2}^p (k-1)\binom{p}{k}x^{k-2}$。令 $j=k-2$，则 $h'(x)=\sum_{j=0}^{p-2} (j+1)\binom{p}{j+2}x^j$。注意 $f(x+1)=g'(x+1)=h'(x)$。
公式：f(x+1)=h'(x)=\sum_{j=0}^{p-2} (j+1)\binom{p}{j+2}x^j
提示：求导时注意系数变化。
步骤 4/6
目标：分析系数整除性
对于 $0\leq j\leq p-3$，有 $j+2\leq p-1$，因此 $p\mid \binom{p}{j+2}$，从而 $p\mid (j+1)\binom{p}{j+2}$。常数项（$j=0$）为 $2\binom{p}{2}=p(p-1)$，能被 $p$ 整除但不能被 $p^2$ 整除（因为 $p\nmid (p-1)$）。最高次项（$j=p-2$）系数为 $(p-1)\binom{p}{p}=p-1$，不被 $p$ 整除。
公式：p\mid \binom{p}{k}\ (1\leq k\leq p-1),\ p\nmid \binom{p}{p}=1
提示：注意 $p$ 是素数，$\binom{p}{k}$ 被 $p$ 整除当且仅当 $1\leq k\leq p-1$。
步骤 5/6
目标：应用艾森斯坦判别法
取素数 $p$，多项式 $h'(x)$ 满足：最高次项系数 $p-1$ 不被 $p$ 整除；其余系数均被 $p$ 整除；常数项 $p(p-1)$ 被 $p$ 整除但不被 $p^2$ 整除。由艾森斯坦判别法，$h'(x)$ 在有理数域上不可约。
公式：艾森斯坦判别法
提示：检查所有系数是否满足条件，特别是常数项不能被 $p^2$ 整除。
步骤 6/6
目标：结论
由于 $f(x+1)=h'(x)$ 不可约，且平移变换保持可约性，因此 $f(x)$ 在有理数域上不可约。
提示：平移变换不改变多项式的可约性。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。