南京师范大学 2018年高等代数第6题
📝 题目
6．（15 分）设 $n$ 为大于 1 的正整数，对每个正整数 $\displaystyle i, i=1,2, \cdots, n$ ，定义 $n$ 维实向量
$$
\alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)
$$
满足条件：$\displaystyle a_{i i}>0 ; a_{i j}<0$ ，如果 $\displaystyle j \neq i$ ；并且 $\displaystyle a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0$ ．证明：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明向量组线性相关
由条件 $a_{i1}+a_{i2}+\cdots+a_{in}=0$ 可知，每个 $\alpha_i$ 的分量之和为零。因此，$\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n$ 的每个分量都是 $0$，即 $\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n = \mathbf{0}$。所以向量组线性相关，秩 $r < n$。
公式：$\sum_{i=1}^n \alpha_i = \mathbf{0}$
提示：注意向量组线性相关的定义：存在不全为零的系数使得线性组合为零向量。
步骤 2/7
目标：假设前n-1个向量线性相关
考虑任意 $n-1$ 个向量，例如 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n-1}$。假设它们线性相关，则存在不全为零的实数 $c_1, c_2, \dots, c_{n-1}$ 使得 $c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + \cdots + c_{n-1}\alpha_{n-1} = \mathbf{0}$。
公式：$\sum_{i=1}^{n-1} c_i \alpha_i = \mathbf{0}$
提示：线性相关意味着存在非零系数，注意系数可以取负值。
步骤 3/7
目标：考虑第n个分量得到关系
考虑第 $n$ 个分量，有 $c_1 a_{1n} + c_2 a_{2n} + \cdots + c_{n-1} a_{n-1,n} = 0$。由于 $a_{in} < 0$ 对 $i=1,\dots,n-1$，且 $c_i$ 不全为零，不妨设 $c_k$ 是绝对值最大的正数（若全非正则取负号）。
公式：$\sum_{i=1}^{n-1} c_i a_{in} = 0$
提示：注意 $a_{in}<0$，且系数不全为零，可以调整符号使最大绝对值系数为正。
步骤 4/7
目标：考虑第k个分量并推导不等式
考虑第 $k$ 个分量，有 $c_1 a_{k1} + c_2 a_{k2} + \cdots + c_{k-1} a_{k,k-1} + c_k a_{kk} + c_{k+1} a_{k,k+1} + \cdots + c_{n-1} a_{k,n-1} = 0$。移项得 $c_k a_{kk} = -\sum_{j\neq k, j=1}^{n-1} c_j a_{kj}$。由于 $a_{kk}>0$，$a_{kj}<0$（$j\neq k$），且 $c_k$ 是绝对值最大的正数，则 $c_j \leq c_k$，所以 $-\sum_{j\neq k} c_j a_{kj} \leq -\sum_{j\neq k} c_k a_{kj} = -c_k \sum_{j\neq k} a_{kj}$。
公式：$c_k a_{kk} = -\sum_{j\neq k} c_j a_{kj}$
提示：注意 $a_{kj}<0$，所以 $-c_j a_{kj} \leq -c_k a_{kj}$ 当 $c_j \leq c_k$ 时成立。
步骤 5/7
目标：利用分量和为零化简不等式
由 $\sum_{j=1}^n a_{kj}=0$ 得 $\sum_{j\neq k} a_{kj} = -a_{kk}$，代入不等式得 $-\sum_{j\neq k} c_j a_{kj} \leq -c_k (-a_{kk}) = c_k a_{kk}$。但左边等于 $c_k a_{kk}$，所以不等式取等，从而所有 $c_j = c_k$（$j\neq k$）。于是所有 $c_i$ 相等，设为 $c$。
公式：$\sum_{j\neq k} a_{kj} = -a_{kk}$
提示：取等条件要求每个 $c_j = c_k$，因为 $a_{kj}<0$ 严格负。
步骤 6/7
目标：导出矛盾
则 $c\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i = \mathbf{0}$。但 $\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i$ 的第 $n$ 分量为 $\sum_{i=1}^{n-1} a_{in} < 0$（因为每个 $a_{in}<0$），所以 $c=0$，与系数不全为零矛盾。因此 $\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ 线性无关，故 $r \geq n-1$。
公式：$\sum_{i=1}^{n-1} a_{in} < 0$
提示：注意 $a_{in}<0$，所以和严格负，从而 $c$ 必须为零。
步骤 7/7
目标：得出结论
由 $r < n$ 和 $r \geq n-1$ 得 $r = n-1$。因此向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 的秩为 $n-1$。
提示：秩为整数，且介于n-1和n之间，故只能为n-1。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。