南京师范大学 2018年高等代数第5题
📝 题目
5．（15 分）设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \in V$ 是一个给定的非零向量，定义 $V$ 中的变换 $\displaystyle \sigma(v)=v-\frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha$ ，称为由 $\displaystyle \alpha$ 确定的镜面反射．
（1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的对称变换；（2）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的正交变换，并且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$（恒等变换）；（3）确定 $\displaystyle \sigma$ 在一个标准正交基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=\frac{\alpha}{|\alpha|}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明σ是对称变换
对称变换定义为：对任意 $v, w \in V$，有 $(\sigma(v), w) = (v, \sigma(w))$。计算 $(\sigma(v), w) = (v - \frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha, w) = (v, w) - \frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} (\alpha, w)$。计算 $(v, \sigma(w)) = (v, w - \frac{2(w, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha) = (v, w) - \frac{2(w, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} (v, \alpha)$。由于内积对称，$(\alpha, w) = (w, \alpha)$ 且 $(v, \alpha) = (\alpha, v)$，两式相等，故 $\sigma$ 是对称变换。
公式：$(\sigma(v), w) = (v, \sigma(w))$
提示：注意内积的对称性，不要混淆 $(v, \alpha)$ 和 $(\alpha, v)$。
步骤 2/6
目标：证明σ是正交变换
正交变换定义为：对任意 $v \in V$，有 $|\sigma(v)| = |v|$。计算 $|\sigma(v)|^2 = (\sigma(v), \sigma(v)) = (v - \frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha, v - \frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha) = (v, v) - 2 \cdot \frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} (v, \alpha) + \left(\frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)}\right)^2 (\alpha, \alpha) = |v|^2 - \frac{4(v, \alpha)^2}{(\alpha, \alpha)} + \frac{4(v, \alpha)^2}{(\alpha, \alpha)} = |v|^2$。因此 $|\sigma(v)| = |v|$，$\sigma$ 是正交变换。
公式：$|\sigma(v)|^2 = |v|^2$
提示：展开内积时注意系数平方项，不要遗漏或算错。
步骤 3/6
目标：证明σ² = ε
计算 $\sigma^2(v) = \sigma\left(v - \frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha\right) = \sigma(v) - \frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \sigma(\alpha)$。先求 $\sigma(\alpha) = \alpha - \frac{2(\alpha, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha = \alpha - 2\alpha = -\alpha$。代入得 $\sigma^2(v) = \left(v - \frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha\right) - \frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} (-\alpha) = v - \frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha + \frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha = v$。因此 $\sigma^2 = \varepsilon$。
公式：$\sigma(\alpha) = -\alpha$
提示：注意 $\sigma(\alpha)$ 的计算，不要忘记系数。
步骤 4/6
目标：构造标准正交基
取 $\alpha_1 = \frac{\alpha}{|\alpha|}$，则 $\alpha_1$ 是单位向量。将 $\alpha_1$ 扩充为 $V$ 的一组标准正交基 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$，即满足 $(\alpha_i, \alpha_j) = \delta_{ij}$。由于 $\alpha_1$ 与 $\alpha$ 同向，$\alpha$ 可表示为 $\alpha = |\alpha| \alpha_1$。
公式：$\alpha_1 = \frac{\alpha}{|\alpha|}$
提示：扩充基时确保正交性，通常使用Gram-Schmidt过程。
步骤 5/6
目标：计算σ在基下的作用
计算 $\sigma(\alpha_1) = \alpha_1 - \frac{2(\alpha_1, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha$。由于 $(\alpha_1, \alpha) = (\frac{\alpha}{|\alpha|}, \alpha) = \frac{(\alpha, \alpha)}{|\alpha|} = |\alpha|$，且 $(\alpha, \alpha) = |\alpha|^2$，代入得 $\sigma(\alpha_1) = \alpha_1 - \frac{2|\alpha|}{|\alpha|^2} \alpha = \alpha_1 - \frac{2}{|\alpha|} \alpha = \alpha_1 - 2\alpha_1 = -\alpha_1$。对于 $i \geq 2$，由于 $\alpha_i$ 与 $\alpha_1$ 正交，且 $\alpha$ 与 $\alpha_1$ 共线，故 $(\alpha_i, \alpha) = 0$，所以 $\sigma(\alpha_i) = \alpha_i - \frac{2(\alpha_i, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha = \alpha_i$。
公式：$\sigma(\alpha_1) = -\alpha_1$, $\sigma(\alpha_i) = \alpha_i$ 对于 $i \geq 2$
提示：注意 $(\alpha_1, \alpha)$ 的计算，不要忘记 $\alpha$ 的长度。
步骤 6/6
目标：写出矩阵表示
由 $\sigma(\alpha_1) = -\alpha_1$ 和 $\sigma(\alpha_i) = \alpha_i$（$i \geq 2$），可知 $\sigma$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 下的矩阵为对角矩阵，第一个对角元为 $-1$，其余为 $1$，即
\[
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}.
\]
提示：注意矩阵的排列顺序与基的次序一致。
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