南京师范大学 2018年高等代数第2题
📝 题目
2．（20分）每小题 10 分）计算行列式
（1）$\displaystyle D=\left|\begin{array}{cccc}a & b & c & d \\ -b & a & d & -c \\ -c & -d & a & b \\ -d & c & -b & a\end{array}\right|$ ；
（2）$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}3 & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 3\end{array}\right|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造矩阵并计算AA^T
令矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ -b & a & d & -c \\ -c & -d & a & b \\ -d & c & -b & a \end{pmatrix}$，计算 $AA^T$。由于 $A$ 是正交矩阵的倍数，直接计算得 $AA^T = (a^2+b^2+c^2+d^2)I_4$。
公式：$AA^T = (a^2+b^2+c^2+d^2)I_4$
提示：注意矩阵乘法时，行与列对应元素相乘求和，避免符号错误。
步骤 2/5
目标：取行列式得到关系式
对等式 $AA^T = (a^2+b^2+c^2+d^2)I_4$ 两边取行列式，得 $\det(A) \det(A^T) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^4$。由于 $\det(A^T) = \det(A)$，所以 $[\det(A)]^2 = (a^2+b^2+c^2+d^2)^4$，即 $\det(A) = \pm (a^2+b^2+c^2+d^2)^2$。
公式：$\det(A)^2 = (a^2+b^2+c^2+d^2)^4$
提示：注意行列式性质：$\det(AB)=\det(A)\det(B)$，且 $\det(kI)=k^n$。
步骤 3/5
目标：确定符号
考虑 $a^4$ 项系数。在行列式展开中，主对角线乘积为 $a^4$，符号为正。而 $\pm (a^2+b^2+c^2+d^2)^2$ 展开后 $a^4$ 系数为 $\pm 1$，因此取正号，即 $D = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2$。
提示：比较 $a^4$ 系数时，注意其他项不会产生 $a^4$，只需看主对角线乘积。
步骤 4/5
目标：建立递推关系
对于 $n$ 阶行列式 $D_n$，按第一行展开：$D_n = 3D_{n-1} - 2D_{n-2}$，其中 $D_1 = 3$，$D_2 = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 7$。
公式：$D_n = 3D_{n-1} - 2D_{n-2}$
提示：展开时注意符号：第一行第一列元素 $3$ 的余子式是 $D_{n-1}$，第一行第二列元素 $2$ 的余子式是下三角行列式，值为 $1 \cdot D_{n-2}$，且代数余子式符号为 $(-1)^{1+2} = -1$，所以 $D_n = 3D_{n-1} - 2D_{n-2}$。
步骤 5/5
目标：求解递推关系
特征方程 $r^2 - 3r + 2 = 0$，解得 $r=1,2$。故通解 $D_n = \alpha \cdot 1^n + \beta \cdot 2^n$。代入初始条件：$n=1$ 时 $\alpha + 2\beta = 3$；$n=2$ 时 $\alpha + 4\beta = 7$。解得 $\alpha = -1$，$\beta = 2$。所以 $D_n = 2^{n+1} - 1$。
公式：$D_n = 2^{n+1} - 1$
提示：注意特征方程的解与通解形式，代入初始条件时不要算错。
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