南京师范大学 2018年高等代数第1题
📝 题目
1．（15 分）叙述并且证明克拉默（Cramer）法则．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：陈述克拉默法则
设线性方程组
\[
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n
\end{cases}
\]
的系数矩阵 \(A = (a_{ij})_{n \times n}\) 的行列式 \(\det(A) \neq 0\)，则方程组有唯一解，且解为
\[
x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}, \quad j = 1,2,\ldots,n,
\]
其中 \(A_j\) 是将 \(A\) 的第 \(j\) 列替换为常数项列 \((b_1,b_2,\ldots,b_n)^T\) 所得的矩阵。
公式：x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}
提示：注意系数矩阵必须是方阵且行列式非零，否则克拉默法则不适用。
步骤 2/5
目标：将方程组写成矩阵形式
将方程组写成矩阵形式 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)，其中 \(\mathbf{x} = (x_1,\ldots,x_n)^T\)，\(\mathbf{b} = (b_1,\ldots,b_n)^T\)。由于 \(\det(A) \neq 0\)，\(A\) 可逆，故唯一解为 \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\)。
公式：A\mathbf{x} = \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}
提示：确保矩阵乘法顺序正确，\(A^{-1}\mathbf{b}\) 而不是 \(\mathbf{b}A^{-1}\)。
步骤 3/5
目标：利用伴随矩阵表示逆矩阵
由伴随矩阵的性质，\(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)\)，其中 \(\operatorname{adj}(A)\) 的 \((i,j)\) 元为 \((-1)^{i+j} M_{ji}\)（\(M_{ji}\) 是 \(A\) 的 \((j,i)\) 元余子式）。因此，解的第 \(j\) 个分量为
\[
x_j = \sum_{k=1}^n (A^{-1})_{jk} b_k = \frac{1}{\det(A)} \sum_{k=1}^n (-1)^{j+k} M_{kj} b_k.
\]
公式：A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A), \quad (A^{-1})_{jk} = \frac{(-1)^{j+k} M_{kj}}{\det(A)}
提示：注意伴随矩阵的定义中余子式的下标顺序：\(\operatorname{adj}(A)\) 的 \((i,j)\) 元是 \((-1)^{i+j} M_{ji}\)，即转置关系。
步骤 4/5
目标：将求和式解释为行列式展开
考虑将 \(A\) 的第 \(j\) 列替换为 \(\mathbf{b}\) 得到的矩阵 \(A_j\)。按第 \(j\) 列展开 \(\det(A_j)\)，得到
\[
\det(A_j) = \sum_{k=1}^n (-1)^{j+k} M_{kj} b_k,
\]
其中 \(M_{kj}\) 是 \(A\) 中元素 \(a_{kj}\) 的余子式（注意 \(A_j\) 的第 \(j\) 列元素为 \(b_k\)，其余子式与 \(A\) 中 \(a_{kj}\) 的余子式相同）。因此，\(x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}\)。
公式：\det(A_j) = \sum_{k=1}^n (-1)^{j+k} M_{kj} b_k
提示：确保余子式 \(M_{kj}\) 对应的是原矩阵 \(A\) 中删除第 \(k\) 行和第 \(j\) 列后的子式，而不是 \(A_j\) 中的。
步骤 5/5
目标：总结证明结论
因此，对于每个 \(j = 1,\ldots,n\)，有 \(x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}\)，且由于 \(\det(A) \neq 0\)，解唯一。克拉默法则得证。
提示：注意唯一性由 \(A\) 可逆保证，克拉默法则给出了显式解。
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