南京师范大学 2021年高等代数第3题
📝 题目
3．（15 分）证明：如果 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 矩阵（ $\displaystyle n \geq 2$ ），那么
$$
\text { 秩 }\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{l}
n, \text { 当秩 }(A)=n, \\
\mathbf{1}, \text { 当秩 }(A)=n-\mathbf{1}, \\
\mathbf{0}, \text { 当秩 }(A)<n-\mathbf{1} .
\end{array}\right.
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题与已知条件
设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵（$n \geq 2$），$A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵。需要证明秩 $\operatorname{rank}(A^*)$ 与 $\operatorname{rank}(A)$ 的关系如题所示。
提示：注意 $n \geq 2$，否则 $n=1$ 时结论不同。
步骤 2/6
目标：情况1：秩为n时，证明秩也为n
当 $\operatorname{rank}(A)=n$ 时，$A$ 可逆。由伴随矩阵性质 $A^* = \det(A) A^{-1}$，且 $\det(A) \neq 0$，故 $A^*$ 可逆，从而 $\operatorname{rank}(A^*)=n$。
公式：$A^* = \det(A) A^{-1}$
提示：可逆矩阵的秩等于阶数。
步骤 3/6
目标：情况2：秩为n-1时，证明秩为1（上界）
当 $\operatorname{rank}(A)=n-1$ 时，$\det(A)=0$。由 $AA^* = \det(A)I = 0$，知 $A^*$ 的每一列都是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解。由于 $\operatorname{rank}(A)=n-1$，解空间维数为 $1$，故 $A^*$ 的所有列向量共线，从而 $\operatorname{rank}(A^*) \leq 1$。
公式：$AA^* = \det(A)I$
提示：解空间维数 = n - rank(A) = 1。
步骤 4/6
目标：情况2：秩为n-1时，证明秩为1（下界）
因为 $\operatorname{rank}(A)=n-1$，所以 $A$ 存在非零的 $n-1$ 阶子式，即 $A^*$ 中至少有一个元素非零，故 $\operatorname{rank}(A^*) \geq 1$。结合上界得 $\operatorname{rank}(A^*)=1$。
提示：伴随矩阵的元素是代数余子式，非零子式对应非零元素。
步骤 5/6
目标：情况3：秩小于n-1时，证明秩为0
当 $\operatorname{rank}(A) < n-1$ 时，$A$ 的所有 $n-1$ 阶子式均为零，因此 $A^*$ 的所有元素为零，即 $A^*=0$，故 $\operatorname{rank}(A^*)=0$。
提示：秩小于n-1意味着所有n-1阶子式为零。
步骤 6/6
目标：总结结论
综合三种情况，得到 $\operatorname{rank}(A^*)$ 的表达式如题所示。
提示：注意分类讨论的完整性。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。