南京师范大学 2021年高等代数第6题
📝 题目
6．（每小题 10 分，共 30 分）设 $\displaystyle \mathbf{F}$ 为一数域， $\displaystyle \mathbf{M}_{3}^{0}(\mathbf{F})$ 表示 $\displaystyle \mathbf{F}$ 上所有迹为 0 的 3 阶矩阵组成的集合。
（1）证明：$\displaystyle M_{3}^{0}(F)$ 是 $\displaystyle M_{3}(F)$ 的一个子空间；
（2）求 $\displaystyle M_{3}^{0}(F)$ 的一组基和维数；
（3）证明： $\displaystyle \mathbf{M}_{3}(\mathbf{F})=<\mathbf{E}_{3}>\oplus \mathbf{M}_{3}^{0}(\mathbf{F})$ ，其中 $\displaystyle <\mathbf{E}_{3}>$ 表示 3 阶单位矩阵 $\displaystyle \mathbf{E}_{3}$ 生成的子空间。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明子空间：加法封闭性
设 $A, B \in M_{3}^{0}(F)$，则 $\operatorname{tr}(A)=0$，$\operatorname{tr}(B)=0$。计算 $A+B$ 的迹：$\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)=0+0=0$，故 $A+B \in M_{3}^{0}(F)$。
公式：$\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)$
提示：注意迹的线性性质：$\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)$，且对任意 $k\in F$，$\operatorname{tr}(kA)=k\operatorname{tr}(A)$。
步骤 2/7
目标：证明子空间：数乘封闭性
对任意 $k \in F$，计算 $kA$ 的迹：$\operatorname{tr}(kA)=k\operatorname{tr}(A)=k\cdot 0=0$，故 $kA \in M_{3}^{0}(F)$。
公式：$\operatorname{tr}(kA)=k\operatorname{tr}(A)$
提示：数乘封闭性依赖于迹的齐次性。
步骤 3/7
目标：证明子空间：零元存在
零矩阵 $0_{3\times 3}$ 的迹为 $0$，故 $0_{3\times 3} \in M_{3}^{0}(F)$。
提示：零矩阵是任何子空间的必要条件。
步骤 4/7
目标：求维数和基：确定维数
$M_{3}(F)$ 的维数为 $9$。迹为 $0$ 的条件是 $a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$，这是一个线性方程，因此 $M_{3}^{0}(F)$ 的维数为 $9-1=8$。
公式：$\dim M_{3}^{0}(F)=9-1=8$
提示：迹条件减少一个自由度，注意不要遗漏。
步骤 5/7
目标：求维数和基：构造基
取 $E_{ij}$（$i\neq j$）共6个：$E_{12}, E_{13}, E_{21}, E_{23}, E_{31}, E_{32}$。再取 $E_{11}-E_{22}$ 和 $E_{22}-E_{33}$（或 $E_{11}-E_{33}$），共2个。这8个矩阵线性无关且张成 $M_{3}^{0}(F)$，故为一组基。
提示：注意 $E_{11}-E_{22}$ 和 $E_{22}-E_{33}$ 的迹均为0，且它们与 $E_{ij}$（$i\neq j$）线性无关。
步骤 6/7
目标：证明直和分解：和
对任意 $A \in M_{3}(F)$，令 $k = \frac{1}{3}\operatorname{tr}(A)$，则 $A = kE_{3} + (A - kE_{3})$。由于 $\operatorname{tr}(A - kE_{3}) = \operatorname{tr}(A) - 3k = 0$，故 $A - kE_{3} \in M_{3}^{0}(F)$，因此 $M_{3}(F) = \langle E_{3}\rangle + M_{3}^{0}(F)$。
公式：$\operatorname{tr}(A - \frac{1}{3}\operatorname{tr}(A)E_{3}) = 0$
提示：注意 $\operatorname{tr}(E_{3})=3$，所以 $k$ 的系数为 $1/3$。
步骤 7/7
目标：证明直和分解：直和
若 $X \in \langle E_{3}\rangle \cap M_{3}^{0}(F)$，则 $X = kE_{3}$ 且 $\operatorname{tr}(X)=0$，即 $3k=0$，故 $k=0$，从而 $X=0$。因此和为直和。
公式：$\operatorname{tr}(kE_{3}) = 3k$
提示：直和的条件是交只含零元。
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