合肥工业大学 2025年高等代数第4题
📝 题目
4、已知二项式 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{n}, \cdots x_{n}\right)=a \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+b \sum_{i=1}^{n} x_{i} x_{n+1-i}$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 都是实数，且 $\displaystyle n \geq 2$ ，试判断当二项式正定时 $\displaystyle a, b$ 应满足的条件．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出二次型的矩阵形式
设 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$，则二次型 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $A$ 是 $n \times n$ 对称矩阵。对于 $i=1,\ldots,n$，$x_i^2$ 的系数为 $a$，所以 $A_{ii} = a$。对于 $i \neq j$，项 $x_i x_j$ 的系数：当 $j = n+1-i$ 时，系数为 $b$；否则为 $0$。由于对称性，$A_{ij} = A_{ji} = \frac{b}{2}$ 当 $j = n+1-i$ 且 $i \neq j$；当 $i = j$ 时，$A_{ii}=a$。因此，$A$ 是一个对称矩阵，其非零元素在主对角线和反对角线上。具体地，
$$A = \begin{pmatrix}
a & 0 & \cdots & 0 & \frac{b}{2} \\
0 & a & \cdots & \frac{b}{2} & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & \frac{b}{2} & \cdots & a & 0 \\
\frac{b}{2} & 0 & \cdots & 0 & a
\end{pmatrix}$$
公式：二次型矩阵 $A$ 的表达式
提示：注意交叉项 $x_i x_{n+1-i}$ 的系数要除以2才能得到矩阵元素，因为 $f = \sum_{i,j} A_{ij} x_i x_j$ 且 $A$ 对称。
步骤 2/5
目标：将矩阵分解为 $aI + \frac{b}{2}J$
注意到 $A$ 可以写成 $A = aI + \frac{b}{2} J$，其中 $J$ 是反对角线为1、其余为0的矩阵，即 $J_{i,n+1-i}=1$，其余为0。$J$ 是对称的，且满足 $J^2 = I$（因为两次置换回到原位置）。
公式：$A = aI + \frac{b}{2} J$
提示：验证 $J^2 = I$ 有助于后续求特征值。
步骤 3/5
目标：求矩阵 $J$ 的特征值
$J$ 是交换矩阵，满足 $J^2 = I$，因此 $J$ 的特征值只能是 $\pm 1$。特征值1和-1的重数取决于 $n$：当 $n$ 为偶数时，特征值1和-1各出现 $n/2$ 次；当 $n$ 为奇数时，特征值1出现 $(n+1)/2$ 次，特征值-1出现 $(n-1)/2$ 次。这是因为 $J$ 的迹等于特征值之和，而 $\operatorname{tr}(J)$ 当 $n$ 为偶数时为0，当 $n$ 为奇数时为1（中间元素为1）。
公式：$J$ 的特征值为 $\pm 1$
提示：注意 $J$ 的迹与特征值的关系，以及 $n$ 奇偶性对重数的影响。
步骤 4/5
目标：求矩阵 $A$ 的特征值
由于 $A = aI + \frac{b}{2} J$，$A$ 的特征值为 $a + \frac{b}{2} \lambda$，其中 $\lambda$ 是 $J$ 的特征值。因此 $A$ 的特征值为 $a + \frac{b}{2}$（对应 $\lambda=1$）和 $a - \frac{b}{2}$（对应 $\lambda=-1$）。特征值的重数与 $J$ 相同：当 $n$ 为偶数时，两者各 $n/2$ 个；当 $n$ 为奇数时，$a+\frac{b}{2}$ 有 $(n+1)/2$ 个，$a-\frac{b}{2}$ 有 $(n-1)/2$ 个。
公式：$A$ 的特征值为 $a \pm \frac{b}{2}$
提示：注意 $J$ 的特征值代入后得到 $A$ 的特征值，与 $n$ 的奇偶性无关。
步骤 5/5
目标：利用特征值判断正定性
实对称矩阵正定当且仅当所有特征值大于0。因此需要 $a + \frac{b}{2} > 0$ 且 $a - \frac{b}{2} > 0$。这两个不等式等价于 $a > \frac{|b|}{2}$。注意 $a$ 必须为正，因为 $|b|/2 \ge 0$，所以 $a > 0$ 自动成立。因此条件为 $a > 0$ 且 $|b| < 2a$。
公式：正定条件：$a > \frac{|b|}{2}$
提示：注意 $a$ 必须为正，且 $|b| < 2a$ 包含了 $a>0$。
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