哈尔滨工业大学 2012年高等代数第3题
📝 题目
3．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, B \in P^{n \times m}, C \in P^{m \times n}, A$ 可逆。证明分块阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & O\end{array}\right)$可逆的充要条件 $\displaystyle C A^{-1} B$ 可逆。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设分块矩阵并引入Schur补
设 $M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & O \end{pmatrix}$，其中 $A$ 可逆。考虑对 $M$ 进行块初等变换，引入Schur补 $S = -CA^{-1}B$。
提示：注意Schur补的定义：$S = D - CA^{-1}B$，这里 $D=O$，所以 $S = -CA^{-1}B$。
步骤 2/7
目标：左乘可逆矩阵进行块消去
左乘矩阵 $\begin{pmatrix} I & O \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix}$，其行列式为1，可逆。计算：
$$
\begin{pmatrix} I & O \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} A & B \\ C & O \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A & B \\ O & -CA^{-1}B \end{pmatrix}.
$$
记 $S = -CA^{-1}B$，则右端为 $\begin{pmatrix} A & B \\ O & S \end{pmatrix}$。
公式：块初等变换公式
提示：左乘矩阵的构造：第一行不变，第二行减去 $CA^{-1}$ 倍的第一行。确保 $A$ 可逆才能定义 $A^{-1}$。
步骤 3/7
目标：等价变换保持可逆性
由于左乘的矩阵可逆，$M$ 可逆当且仅当 $\begin{pmatrix} A & B \\ O & S \end{pmatrix}$ 可逆。
提示：可逆矩阵的乘积仍可逆，且左乘可逆矩阵不改变矩阵的可逆性。
步骤 4/7
目标：块上三角矩阵的可逆条件
矩阵 $\begin{pmatrix} A & B \\ O & S \end{pmatrix}$ 是块上三角矩阵，其行列式等于 $\det(A)\det(S)$。因此它可逆当且仅当 $A$ 和 $S$ 均可逆。
公式：$\det\begin{pmatrix} A & B \\ O & S \end{pmatrix} = \det(A)\det(S)$
提示：块上三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积，前提是 $A$ 和 $S$ 是方阵。这里 $A$ 是 $n\times n$，$S$ 是 $m\times m$。
步骤 5/7
目标：必要性证明
若 $M$ 可逆，则 $\begin{pmatrix} A & B \\ O & S \end{pmatrix}$ 可逆，从而 $S$ 可逆，即 $-CA^{-1}B$ 可逆。由于 $-1$ 因子不影响可逆性，故 $CA^{-1}B$ 可逆。
提示：注意 $S = -CA^{-1}B$，可逆性等价于 $CA^{-1}B$ 可逆，因为乘以非零常数不改变可逆性。
步骤 6/7
目标：充分性证明
若 $CA^{-1}B$ 可逆，则 $S = -CA^{-1}B$ 可逆。又 $A$ 可逆，故 $\begin{pmatrix} A & B \\ O & S \end{pmatrix}$ 可逆，从而 $M$ 可逆（因为左乘可逆矩阵得到它）。
提示：充分性中，由 $CA^{-1}B$ 可逆推出 $S$ 可逆，再结合 $A$ 可逆得块三角矩阵可逆，最后利用等价变换得 $M$ 可逆。
步骤 7/7
目标：结论
综上，分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & B \\ C & O \end{pmatrix}$ 可逆的充要条件是 $CA^{-1}B$ 可逆。
提示：该结论是Schur补性质的一个应用，注意 $A$ 必须可逆。
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