哈尔滨工业大学 2022年高等代数第3题
📝 题目
3．已知实矩阵 $\displaystyle A_{n \times n}$ 的列向量组为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，行向量组为 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ ，证明：对任意的 $\displaystyle \gamma \in \mathbb{R}^{n}$ ，方程组 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{n} \alpha_{n}=\gamma$ 有解的充要条件是 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 线性无关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题意与符号设定
设矩阵 $A_{n\times n}$ 的列向量组为 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$，行向量组为 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$。则 $A = (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)$，且 $A$ 的第 $i$ 行是 $\beta_i$。题目要求证明：对任意 $\gamma\in\mathbb{R}^n$，方程组 $k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n=\gamma$ 有解的充要条件是 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$ 线性无关。
提示：注意区分列向量和行向量，方程组 $k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n=\gamma$ 等价于 $A\mathbf{k}=\gamma$，其中 $\mathbf{k}=(k_1,\dots,k_n)^T$。
步骤 2/4
目标：必要性证明：从方程组对任意γ有解推出行向量组线性无关
假设对任意 $\gamma\in\mathbb{R}^n$，方程组 $A\mathbf{k}=\gamma$ 有解。这意味着 $A$ 的列向量组张成整个 $\mathbb{R}^n$，即 $\text{rank}(A)=n$，所以 $A$ 是可逆矩阵。由于可逆矩阵的行秩等于列秩等于 $n$，因此 $A$ 的行向量组 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$ 线性无关。
公式：$\text{rank}(A)=n \iff A$ 可逆 $\iff$ 行向量组线性无关
提示：注意：列向量组张成 $\mathbb{R}^n$ 等价于列秩为 $n$，即 $\text{rank}(A)=n$。
步骤 3/4
目标：充分性证明：从行向量组线性无关推出方程组对任意γ有解
假设 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$ 线性无关，则 $A$ 的行秩为 $n$，从而 $\text{rank}(A)=n$，所以 $A$ 是可逆矩阵。于是对任意 $\gamma\in\mathbb{R}^n$，方程组 $A\mathbf{k}=\gamma$ 有唯一解 $\mathbf{k}=A^{-1}\gamma$，即存在 $k_1,\dots,k_n$ 使得 $k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n=\gamma$ 成立。
公式：$A$ 可逆 $\Rightarrow$ 对任意 $\gamma$，$A\mathbf{k}=\gamma$ 有解 $\mathbf{k}=A^{-1}\gamma$
提示：注意：行向量组线性无关等价于行秩为 $n$，而矩阵的行秩等于列秩等于秩。
步骤 4/4
目标：总结充要条件
综合必要性和充分性，得到：对任意 $\gamma\in\mathbb{R}^n$，方程组 $k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n=\gamma$ 有解的充要条件是 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$ 线性无关。
提示：充要条件证明需分别证明必要性和充分性，缺一不可。
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