哈尔滨工程大学 2011年高等代数第7题
📝 题目
7．对于矩阵 $\displaystyle A, B$ ，齐次线性方程组 $\displaystyle (A B) X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题与符号设定
设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times p$ 矩阵，则 $AB$ 为 $m \times p$ 矩阵。考虑齐次线性方程组 $(AB)X=0$ 与 $BX=0$，其中 $X$ 是 $p \times 1$ 列向量。
提示：注意矩阵维数匹配，确保乘法有意义。
步骤 2/6
目标：分析同解的必要条件
若两方程组同解，则 $BX=0$ 的解都是 $(AB)X=0$ 的解，即 $\ker B \subseteq \ker(AB)$。但 $\ker B \subseteq \ker(AB)$ 总是成立，因为若 $BX=0$，则 $ABX=A0=0$。因此必要性自动满足，需进一步考虑充分性。
公式：$\ker B \subseteq \ker(AB)$
提示：不要误以为必要性给出条件，实际上它恒成立。
步骤 3/6
目标：分析同解的充分条件
若两方程组同解，则 $(AB)X=0$ 的解都是 $BX=0$ 的解，即 $\ker(AB) \subseteq \ker B$。这等价于：若 $ABX=0$，则 $BX=0$。
公式：$\ker(AB) \subseteq \ker B$
提示：充分性才是关键条件。
步骤 4/6
目标：用线性映射解释条件
考虑线性映射：$B: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$，$A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$。则 $\ker(AB) = \{X \mid ABX=0\} = B^{-1}(\ker A)$。条件 $\ker(AB) \subseteq \ker B$ 即 $B^{-1}(\ker A) \subseteq \ker B$。
公式：$\ker(AB) = B^{-1}(\ker A)$
提示：注意 $B^{-1}(\ker A)$ 是原像集，不是逆映射。
步骤 5/6
目标：推导充要条件
由于 $\ker B \subseteq B^{-1}(\ker A)$ 总是成立，所以 $B^{-1}(\ker A) \subseteq \ker B$ 等价于 $B^{-1}(\ker A) = \ker B$。而 $B^{-1}(\ker A) = \ker B$ 当且仅当 $\ker A \cap \operatorname{Im} B = \{0\}$。因为若存在非零 $Y \in \ker A \cap \operatorname{Im} B$，则存在 $X$ 使 $BX=Y$，那么 $ABX=AY=0$ 但 $BX=Y \neq 0$，矛盾；反之，若交为零，则对任意 $X$，$ABX=0$ 推出 $BX \in \ker A \cap \operatorname{Im} B = \{0\}$，故 $BX=0$。
公式：$\ker A \cap \operatorname{Im} B = \{0\}$
提示：注意 $\operatorname{Im} B$ 是 $B$ 的列空间。
步骤 6/6
目标：总结充要条件
因此，齐次线性方程组 $(AB)X=0$ 与 $BX=0$ 同解的充要条件是 $\ker A \cap \operatorname{Im} B = \{0\}$，即 $A$ 的零空间与 $B$ 的列空间只交于零向量。
公式：$\ker A \cap \operatorname{Im} B = \{0\}$
提示：该条件也可写作 $\operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(AB)$，但需注意前提。
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