哈尔滨工程大学 2015年高等代数第4题
📝 题目
4．设 $A$ 为方阵，且 $\displaystyle A^{3}=0$ ，则 $\displaystyle (E-A)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别已知条件
已知 $A$ 是方阵，且 $A^3 = 0$，即 $A$ 是幂零矩阵，指数为3。
公式：$A^3 = 0$
提示：注意幂零矩阵的定义：存在正整数 $k$ 使得 $A^k = 0$，这里 $k=3$。
步骤 2/6
目标：构造逆矩阵的候选表达式
考虑 $(E-A)$ 的逆矩阵可能为 $E + A + A^2$，因为对于几何级数，当 $|x|<1$ 时，$(1-x)^{-1} = 1+x+x^2+\cdots$，但这里 $A$ 是矩阵，且 $A^3=0$，所以级数只有三项。
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但这里 $E$ 与 $A$ 可交换，所以展开时顺序不变。
步骤 3/6
目标：验证乘积
计算 $(E-A)(E+A+A^2)$：
$(E-A)(E+A+A^2) = E(E+A+A^2) - A(E+A+A^2) = E + A + A^2 - A - A^2 - A^3 = E - A^3$。
提示：注意矩阵乘法分配律，且 $A$ 与 $E$ 可交换，所以 $AE = EA = A$。
步骤 4/6
目标：代入已知条件
由 $A^3 = 0$，得 $E - A^3 = E$，所以 $(E-A)(E+A+A^2) = E$。
公式：$A^3 = 0$
提示：确保 $A^3$ 是零矩阵，而不是数0。
步骤 5/6
目标：得出逆矩阵
由逆矩阵的定义，若 $BC = E$，则 $B^{-1} = C$。因此 $(E-A)^{-1} = E + A + A^2$。
公式：若 $BC = E$，则 $B^{-1} = C$
提示：注意需要验证 $C$ 也是左逆，但这里由于 $E-A$ 与 $E+A+A^2$ 可交换（因为都是 $A$ 的多项式），所以右逆也是左逆。
步骤 6/6
目标：最终答案
因此，$(E-A)^{-1} = E + A + A^2$。
提示：答案应写成矩阵形式，注意 $E$ 是单位矩阵。
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