哈尔滨工程大学 2016年高等代数第2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle f(x)=\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & -2 & 4 & -8 \\ 1 & 3 & 9 & 27\end{array}\right|$ 的三个根为 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别行列式类型
观察行列式 $f(x)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & -2 & 4 & -8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \end{vmatrix}$，发现第二行是 $x$ 的幂次，第三行是 $-2$ 的幂次，第四行是 $3$ 的幂次，第一行全为1。这类似于范德蒙德行列式，但缺少一个变量。实际上，这是一个4阶范德蒙德行列式，其中变量为 $1, x, -2, 3$。
公式：范德蒙德行列式：$\begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\ 1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\ 1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\ 1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3 \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le 4} (a_j - a_i)$
提示：注意行列式的行顺序：第一行是1的幂次，第二行是x的幂次，第三行是-2的幂次，第四行是3的幂次。
步骤 2/5
目标：应用范德蒙德行列式公式
将 $f(x)$ 视为以 $1, x, -2, 3$ 为变量的范德蒙德行列式，则 $f(x) = \prod_{1 \le i < j \le 4} (a_j - a_i)$，其中 $a_1=1, a_2=x, a_3=-2, a_4=3$。乘积包含所有差 $(a_j - a_i)$，其中 $i
提示：注意乘积的顺序，确保每个差只出现一次。
步骤 3/5
目标：展开乘积并提取公因式
乘积为：$(x-1)(-2-1)(3-1)(-2-x)(3-x)(3+2)$。整理得：$f(x) = (x-1)(-3)(2)(-2-x)(3-x)(5)$。简化常数：$(-3)\times2\times5 = -30$，而 $(-2-x) = -(x+2)$，$(3-x) = -(x-3)$。所以 $f(x) = -30 \cdot (x-1) \cdot [-(x+2)] \cdot [-(x-3)] = -30 (x-1)(x+2)(x-3)$。
提示：注意符号处理：$(-2-x)=-(x+2)$，$(3-x)=-(x-3)$，两个负号相乘得正。
步骤 4/5
目标：确定多项式的根
由 $f(x) = -30 (x-1)(x+2)(x-3)$，令 $f(x)=0$ 得 $(x-1)(x+2)(x-3)=0$，所以三个根为 $x_1=1, x_2=-2, x_3=3$。
提示：注意常数因子-30不影响根。
步骤 5/5
目标：计算根的和
根的和 $x_1+x_2+x_3 = 1 + (-2) + 3 = 2$。
提示：直接相加即可。
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