哈尔滨工程大学 2024年高等代数第2题
📝 题目
2．若 3 阶可逆阵 $A$ 交换 1,2 行得矩阵 $B$ ，再将矩阵 $B$ 的第 2 行加到第 3 行上得到矩阵 $C$ ，则满足 $\displaystyle P A=C$ 的矩阵 $\displaystyle P=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解初等行变换与初等矩阵的关系
对矩阵左乘一个初等矩阵，相当于对该矩阵进行相应的初等行变换。因此，交换 $A$ 的 1,2 行得到 $B$，即 $B = E_{12} A$，其中 $E_{12}$ 是交换 1,2 行的初等矩阵。
公式：$B = E_{12} A$
提示：注意左乘和右乘的区别：左乘对应行变换，右乘对应列变换。
步骤 2/6
目标：写出交换1,2行的初等矩阵
交换 1,2 行的初等矩阵 $E_{12}$ 是将单位矩阵的第1行与第2行交换得到：
$$E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
公式：$E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
提示：初等矩阵的构造：对单位矩阵进行一次初等行变换得到。
步骤 3/6
目标：写出将第2行加到第3行的初等矩阵
将矩阵 $B$ 的第2行加到第3行得到 $C$，即 $C = E_{32}(1) B$，其中 $E_{32}(1)$ 是将单位矩阵的第2行加到第3行得到的初等矩阵：
$$E_{32}(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$
公式：$E_{32}(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
提示：注意 $E_{ij}(k)$ 表示将第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行，下标顺序不要搞反。
步骤 4/6
目标：建立C与A的关系
由 $B = E_{12} A$ 和 $C = E_{32}(1) B$，代入得 $C = E_{32}(1) E_{12} A$。因此 $P = E_{32}(1) E_{12}$。
公式：$C = E_{32}(1) E_{12} A$
提示：注意矩阵乘法的顺序：先进行的变换对应的矩阵在右边。
步骤 5/6
目标：计算矩阵P
计算 $P = E_{32}(1) E_{12}$：
$$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
公式：$P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
提示：矩阵乘法时，注意行与列对应相乘。
步骤 6/6
目标：验证结果
可以验证：$PA = C$。由于 $A$ 可逆，$P$ 唯一确定。
提示：验证时，可选取特殊矩阵 $A$（如单位矩阵）进行检验。
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