哈尔滨工程大学 2024年高等代数第5题
📝 题目
5．设 3 阶对称阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}+2 A-3 E=O$ ，其中 $E$ 为单位阵，且 $A$ 与 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2\end{array}\right)$ 合同，则 $\displaystyle |A+2 E|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由矩阵方程推导特征值可能取值
由 $A^2+2A-3E=O$ 得 $(A+3E)(A-E)=O$。设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $\xi$，则 $(A+3E)(A-E)\xi = (\lambda+3)(\lambda-1)\xi = 0$，故 $(\lambda+3)(\lambda-1)=0$，所以 $\lambda=1$ 或 $\lambda=-3$。
公式：$(A+3E)(A-E)=O$
提示：注意特征值满足的方程是从矩阵多项式得到的，不要遗漏可能的特征值。
步骤 2/6
目标：确定A的对称性和合同条件
$A$ 是3阶对称阵，因此可正交对角化，即存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$，其中 $\lambda_i$ 为 $A$ 的特征值。$A$ 与 $B$ 合同，故 $A$ 与 $B$ 有相同的正惯性指数（即正特征值的个数）和负惯性指数。
提示：对称阵合同意味着有相同的正负惯性指数，但特征值不一定相同。
步骤 3/6
目标：计算B的特征值以确定惯性指数
计算 $B$ 的特征多项式：
$|\lambda E - B| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -3 & -3 \\ -3 & \lambda-2 & -3 \\ -3 & -3 & \lambda-2 \end{vmatrix}$。
将第2、3列加到第1列，得 $\begin{vmatrix} \lambda-8 & -3 & -3 \\ \lambda-8 & \lambda-2 & -3 \\ \lambda-8 & -3 & \lambda-2 \end{vmatrix}$，提取公因子 $\lambda-8$，得 $(\lambda-8)\begin{vmatrix} 1 & -3 & -3 \\ 1 & \lambda-2 & -3 \\ 1 & -3 & \lambda-2 \end{vmatrix}$。
第2、3行减去第1行，得 $(\lambda-8)\begin{vmatrix} 1 & -3 & -3 \\ 0 & \lambda+1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda+1 \end{vmatrix} = (\lambda-8)(\lambda+1)^2$。
故 $B$ 的特征值为 $8$（单重）和 $-1$（二重），正惯性指数为1，负惯性指数为2。
公式：$|\lambda E - B| = (\lambda-8)(\lambda+1)^2$
提示：计算特征多项式时注意行列式变换的技巧，避免计算错误。
步骤 4/6
目标：确定A的特征值
由于 $A$ 与 $B$ 合同，$A$ 的正惯性指数为1，负惯性指数为2。而 $A$ 的特征值只能取 $1$ 或 $-3$，其中 $1>0$，$-3<0$。因此 $A$ 的特征值中正数个数为1，负数个数为2，故 $A$ 的特征值为 $1$（单重）和 $-3$（二重）。
提示：注意特征值的重数要与惯性指数匹配，正特征值个数为1，负特征值个数为2。
步骤 5/6
目标：计算A+2E的特征值
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda+2$ 是 $A+2E$ 的特征值。因此 $A+2E$ 的特征值为：$1+2=3$（单重）和 $-3+2=-1$（二重）。
公式：$A+2E$ 的特征值为 $\lambda+2$
提示：注意特征值的平移性质，不要忘记加2。
步骤 6/6
目标：计算行列式
矩阵的行列式等于其特征值的乘积。故 $|A+2E| = 3 \times (-1) \times (-1) = 3$。
公式：$|A| = \prod \lambda_i$
提示：注意特征值的重数，乘积时要乘以相应的次数。
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