武汉理工大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5．已知 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 对基
$$
\varepsilon_{1}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
2
\end{array}\right), \varepsilon_{2}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \varepsilon_{3}=\left(\begin{array}{c}
3 \\
-1 \\
-6
\end{array}\right)
$$
的像为
$$
\sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
-2
\end{array}\right), \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
-1 \\
3
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。
（2）设 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \sigma(X)$ ．
（3）已知 $\displaystyle \sigma(Y)$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的坐标向量为 $\displaystyle \left(\begin{array}{c}2 \\ -4 \\ -2\end{array}\right)$ ，求 $Y$ ．
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