武汉理工大学 2026年高等代数第7题

矩阵$J$是元素全为1的$n$阶方阵，可表示为$J = \mathbf{1} \mathbf{1}^T$，其中$\mathbf{1} = (1,1,\ldots,1)^T$。由于$J$的秩为1，且迹为$n$，故特征值为$\lambda_1 = n$（单重）和$\lambda_2 = 0$（$n-1$重）。

对于$\lambda = n$，解$(J - nI)\mathbf{x}=0$，得$\mathbf{1}^T\mathbf{x} = n\mathbf{x}$，取$\mathbf{x}=\mathbf{1}$，则$J\mathbf{1}=n\mathbf{1}$，故特征向量为$k\mathbf{1}$（$k\neq0$）。对于$\lambda=0$，解$J\mathbf{x}=0$，即$\mathbf{1}^T\mathbf{x}=0$，特征子空间为$\{\mathbf{x}\in\mathbb{Q}^n\mid\sum_{i=1}^n x_i=0\}$，维数$n-1$，一组基可取$\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_3,\ldots,\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_n$。

由$A=f(J)=a I+b J$，且$J$的特征向量也是$A$的特征向量。若$J$的特征值为$\lambda$，则$A$的特征值为$a+b\lambda$。故$A$的特征值为$a+bn$（对应$\lambda=n$）和$a$（对应$\lambda=0$）。

对应于特征值$a+bn$的特征子空间为$\operatorname{span}\{\mathbf{1}\}$，维数1。对应于特征值$a$的特征子空间为$\{\mathbf{x}\in\mathbb{Q}^n\mid\sum_{i=1}^n x_i=0\}$，维数$n-1$。

由于$A$是实对称矩阵（$J$对称），故可对角化。实际上，$A$有$n$个线性无关的特征向量：$\mathbf{1}$和$n-1$个和为零的向量，因此可对角化。

取$P$的列向量为特征向量：第一列取$\mathbf{1}=(1,1,\ldots,1)^T$，其余列取$\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_3,\ldots,\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_n$。即 $$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & -1 \end{pmatrix}.$$

则$P^{-1}AP = \operatorname{diag}(a+bn, a, a, \ldots, a)$，其中对角线上第一个元素为$a+bn$，其余$n-1$个为$a$。