江南大学 2026年高等代数第4题

矩阵 $A$ 的元素为 $a_{ij} = \begin{cases} a, & i \neq j \\ 1, & i = j \end{cases}$，即 $A = \begin{pmatrix} 1 & a & \cdots & a \\ a & 1 & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \cdots & 1 \end{pmatrix}$。齐次线性方程组 $AX=0$ 为： $$\begin{cases} x_1 + a x_2 + \cdots + a x_n = 0 \\ a x_1 + x_2 + \cdots + a x_n = 0 \\ \vdots \\ a x_1 + a x_2 + \cdots + x_n = 0 \end{cases}$$

将所有 $n$ 个方程相加，左边为 $(1+(n-1)a)(x_1+x_2+\cdots+x_n)$，右边为0，故得： $$(1+(n-1)a)(x_1+x_2+\cdots+x_n)=0.$$

将第一个方程减去第二个方程：$(1-a)(x_1-x_2)=0$。类似地，可得 $(1-a)(x_i-x_j)=0$ 对所有 $i,j$ 成立。因此，若 $a\neq 1$，则 $x_1=x_2=\cdots=x_n$。

由 $1+(n-1)a\neq 0$ 得 $S=0$；由 $a\neq 1$ 得 $x_1=x_2=\cdots=x_n$。结合 $S=0$ 得 $nx_1=0$，故 $x_1=0$，从而所有 $x_i=0$。解空间 $S=\{0\}$，维数为0。

当 $a=1$ 时，所有方程相同：$x_1+x_2+\cdots+x_n=0$。解空间为 $\{(x_1,\dots,x_n)^T\mid \sum x_i=0\}$，维数为 $n-1$。

若 $n=2$，则 $a=\frac{1}{1-2}=-1$。矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$，方程组为 $x_1-x_2=0$ 和 $-x_1+x_2=0$，即 $x_1=x_2$。解空间为 $\{(t,t)^T\mid t\in K\}$，维数为1。

此时 $a=\frac{1}{1-n}$，且 $1-a\neq 0$。由方程 $x_i + a\sum_{j\neq i}x_j=0$ 得 $x_i = \frac{-a}{1-a}S$，其中 $S=\sum x_i$。代入 $a$ 得 $x_i = \frac{1}{n-2}S$。由于所有 $x_i$ 相等，设 $x_i=t$，则 $S=nt$，代入得 $t=\frac{n}{n-2}t$，即 $(1-\frac{n}{n-2})t=0$，解得 $t=0$。故解空间 $S=\{0\}$，维数为0。

综合以上： - 当 $a\neq 1$ 且 $a\neq \frac{1}{1-n}$ 时，解空间 $S=\{0\}$，维数0。 - 当 $a=1$ 时，解空间 $S=\{(x_1,\dots,x_n)^T\mid \sum x_i=0\}$，维数 $n-1$。 - 当 $a=\frac{1}{1-n}$ 且 $n=2$ 时，解空间 $S=\{(t,t)^T\mid t\in K\}$，维数1。 - 当 $a=\frac{1}{1-n}$ 且 $n>2$ 时，解空间 $S=\{0\}$，维数0。