湖南大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．$\displaystyle P \in M_{m \times n}(\mathbb{C}), A \in M_{n \times s}(\mathbb{C}), Q \in M_{s \times t}(\mathbb{C})$ ，证明：
$$
\operatorname{rank}(P A Q) \geq \operatorname{rank}(P A)+\operatorname{rank}(A Q)-\operatorname{rank}(A)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用标准型化简矩阵A
设 $r = \operatorname{rank}(A)$，则存在可逆矩阵 $U \in GL_n(\mathbb{C})$ 和 $V \in GL_s(\mathbb{C})$ 使得 $A = U \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} V$。
公式：$A = U \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} V$
提示：注意 $U$ 和 $V$ 是可逆的，且 $I_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵。
步骤 2/7
目标：变换矩阵P和Q
令 $P' = PU$，$Q' = VQ$，则 $P' \in M_{m \times n}(\mathbb{C})$，$Q' \in M_{s \times t}(\mathbb{C})$。于是 $PAQ = P' \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q'$，$PA = P' \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} V$，$AQ = U \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q'$。
提示：注意 $U$ 和 $V$ 可逆，因此秩不变。
步骤 3/7
目标：简化秩的表达式
由于 $U, V$ 可逆，有 $\operatorname{rank}(PA) = \operatorname{rank}\left(P' \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right)$，$\operatorname{rank}(AQ) = \operatorname{rank}\left(\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q'\right)$。
提示：可逆矩阵不改变秩。
步骤 4/7
目标：分块矩阵表示
将 $P'$ 和 $Q'$ 分块为 $P' = \begin{pmatrix} P_{11} & P_{12} \\ P_{21} & P_{22} \end{pmatrix}$，$Q' = \begin{pmatrix} Q_{11} & Q_{12} \\ Q_{21} & Q_{22} \end{pmatrix}$，其中 $P_{11} \in M_{m \times r}$，$Q_{11} \in M_{r \times t}$。则 $PAQ = \begin{pmatrix} P_{11} Q_{11} & P_{11} Q_{12} \\ P_{21} Q_{11} & P_{21} Q_{12} \end{pmatrix}$，$PA = \begin{pmatrix} P_{11} & 0 \\ P_{21} & 0 \end{pmatrix}$，$AQ = \begin{pmatrix} Q_{11} & Q_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：注意分块后零矩阵的位置。
步骤 5/7
目标：计算各矩阵的秩
因此 $\operatorname{rank}(PA) = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} P_{11} \\ P_{21} \end{pmatrix}$，$\operatorname{rank}(AQ) = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} Q_{11} & Q_{12} \end{pmatrix}$，而 $\operatorname{rank}(PAQ) = \operatorname{rank}\left(\begin{pmatrix} P_{11} \\ P_{21} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Q_{11} & Q_{12} \end{pmatrix}\right)$。
提示：注意 $PAQ$ 是两个矩阵的乘积。
步骤 6/7
目标：应用秩的不等式
由秩的不等式：对任意矩阵 $X \in M_{m \times r}$，$Y \in M_{r \times t}$，有 $\operatorname{rank}(XY) \geq \operatorname{rank}(X) + \operatorname{rank}(Y) - r$。这里 $X = \begin{pmatrix} P_{11} \\ P_{21} \end{pmatrix}$，$Y = \begin{pmatrix} Q_{11} & Q_{12} \end{pmatrix}$，所以 $\operatorname{rank}(PAQ) \geq \operatorname{rank}\begin{pmatrix} P_{11} \\ P_{21} \end{pmatrix} + \operatorname{rank}\begin{pmatrix} Q_{11} & Q_{12} \end{pmatrix} - r = \operatorname{rank}(PA) + \operatorname{rank}(AQ) - \operatorname{rank}(A)$。
公式：$\operatorname{rank}(XY) \geq \operatorname{rank}(X) + \operatorname{rank}(Y) - n$
提示：注意 $n$ 是 $X$ 的列数，也是 $Y$ 的行数，这里为 $r$。
步骤 7/7
目标：结论
因此不等式 $\operatorname{rank}(PAQ) \geq \operatorname{rank}(PA) + \operatorname{rank}(AQ) - \operatorname{rank}(A)$ 成立。
提示：证明完成。
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