电子科技大学 2022年高等代数第4题

已知矩阵 $A \in \mathbb{C}^{5 \times 5}$ 的最小多项式为 $m_A(\lambda) = (\lambda-1)(\lambda-2)^3$，且 $A-I$ 不可逆，即 $\det(A-I)=0$，故 $1$ 是 $A$ 的特征值。由于最小多项式在 $\mathbb{C}$ 上分解为一次因式，但 $m_A(\lambda)$ 有重根 $(\lambda-2)^3$，因此 $A$ 不可对角化。

由最小多项式可知，特征值 $1$ 的Jordan块阶数至少为 $1$，特征值 $2$ 的Jordan块最大阶数为 $3$。由于 $A$ 是 $5 \times 5$ 矩阵，特征值 $1$ 的代数重数为 $1$，特征值 $2$ 的代数重数为 $4$。可能的Jordan标准形需满足：特征值 $2$ 的Jordan块中最大阶数为 $3$，且所有Jordan块阶数之和为 $4$。若有两个 $2$ 阶块，则最小多项式应为 $(\lambda-2)^2$，矛盾。因此只能是 $J = \mathrm{diag}(J_1(1), J_3(2), J_1(2))$，其中 $J_3(2)$ 是 $3$ 阶Jordan块。

设 $A = PJP^{-1}$，则 $V = \{ B \mid AB = BA \}$ 与 $V' = \{ B' \mid JB' = B'J \}$ 同构，维数相同。因此只需计算与 $J$ 可交换的矩阵 $B'$ 的维数。将 $B'$ 按 $J$ 的分块方式分块：$B' = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\ B_{31} & B_{32} & B_{33} \end{pmatrix}$，其中 $B_{11} \in \mathbb{C}^{1 \times 1}$，$B_{22} \in \mathbb{C}^{3 \times 3}$，$B_{33} \in \mathbb{C}^{1 \times 1}$，其余为相应尺寸。

对角块需与对应Jordan块可交换： - $B_{11}$ 与 $J_1(1)$ 可交换：任意 $1 \times 1$ 矩阵，维数 $1$。 - $B_{22}$ 与 $J_3(2)$ 可交换：与 $3$ 阶Jordan块可交换的矩阵形如 $\begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$，维数 $3$。 - $B_{33}$ 与 $J_1(2)$ 可交换：任意 $1 \times 1$ 矩阵，维数 $1$。 对角块总维数 $1+3+1=5$。

非对角块需满足 $J$ 分块乘法相等： - $B_{12}$：$J_1(1)B_{12}=B_{12}J_3(2) \Rightarrow B_{12}(J_3(2)-I)=0$，由于 $J_3(2)-I$ 可逆（特征值 $1$），故 $B_{12}=0$，维数 $0$。 - $B_{13}$：$J_1(1)B_{13}=B_{13}J_1(2) \Rightarrow B_{13}=2B_{13} \Rightarrow B_{13}=0$，维数 $0$。 - $B_{21}$：$J_3(2)B_{21}=B_{21}J_1(1) \Rightarrow J_3(2)B_{21}=B_{21}$，由于 $J_3(2)$ 特征值 $2$，$1$ 不是特征值，故 $B_{21}=0$，维数 $0$。 - $B_{23}$：$J_3(2)B_{23}=B_{23}J_1(2) \Rightarrow (J_3(2)-2I)B_{23}=0$。$J_3(2)-2I$ 是幂零矩阵，秩 $2$，零空间维数 $1$，故 $B_{23}$ 维数 $1$。 - $B_{31}$：$J_1(2)B_{31}=B_{31}J_1(1) \Rightarrow 2B_{31}=B_{31} \Rightarrow B_{31}=0$，维数 $0$。 - $B_{32}$：$J_1(2)B_{32}=B_{32}J_3(2) \Rightarrow B_{32}(J_3(2)-2I)=0$，右乘零空间维数 $1$，故 $B_{32}$ 维数 $1$。 非对角块总维数 $0+0+0+1+0+1=2$。

可交换矩阵空间 $V'$ 的维数为对角块维数与非对角块维数之和：$5 + 2 = 7$。因此原空间 $V$ 的维数为 $7$。