陕西师范大学 2023年高等代数第3题
📝 题目
3．（20分）已知向量组 $\displaystyle (I)$ 为
$$
\beta_{1}=(0,1,-1)^{T}, \beta_{2}=(s, 2,1)^{T}, \beta_{3}=(t, 1,0)^{T}
$$
向量组（II）为
$$
\alpha_{1}=(1,2,-3)^{T}, \alpha_{2}=(3,0,1)^{T}, \alpha_{3}=(9,6,-7)^{T} .
$$
向量组 $\displaystyle (I)$ 与 $\displaystyle (I I)$ 有相同的秩，且 $\displaystyle \beta_{3}$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出，求 $\displaystyle s, t$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求向量组(II)的秩
构造矩阵 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1 & 3 & 9 \\ 2 & 0 & 6 \\ -3 & 1 & -7\end{pmatrix}$，化为行最简形：
$$\begin{pmatrix}1 & 3 & 9 \\ 2 & 0 & 6 \\ -3 & 1 & -7\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-2r_1,r_3+3r_1}\begin{pmatrix}1 & 3 & 9 \\ 0 & -6 & -12 \\ 0 & 10 & 20\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2/(-6)}\begin{pmatrix}1 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 10 & 20\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-10r_2}\begin{pmatrix}1 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\xrightarrow{r_1-3r_2}\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.$$
所以秩为2，且 $\alpha_3=3\alpha_1+2\alpha_2$。
提示：行变换时注意符号，避免计算错误。
步骤 2/6
目标：利用秩相等条件得到s与t的关系
向量组(I)与(II)秩相同，故秩为2。构造矩阵 $B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=\begin{pmatrix}0 & s & t \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}$。计算行列式：
$$\det(B)=0\cdot\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}-s\cdot\begin{vmatrix}1&1\\-1&0\end{vmatrix}+t\cdot\begin{vmatrix}1&2\\-1&1\end{vmatrix}= -s(0+1)+t(1+2)= -s+3t.$$
因为秩为2，所以 $\det(B)=0$，即 $-s+3t=0$，故 $s=3t$。
公式：$\det(B)=0$
提示：行列式展开时注意符号，尤其是余子式的符号。
步骤 3/6
目标：利用β3可由α1,α2,α3线性表出条件
由于 $\beta_3$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出，且 $\alpha_3=3\alpha_1+2\alpha_2$，故 $\beta_3$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表出。设 $\beta_3=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$，即
$$\begin{pmatrix}t\\1\\0\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k_1+3k_2\\2k_1\\-3k_1+k_2\end{pmatrix}.$$
提示：注意线性表出的系数是唯一的，因为α1,α2线性无关。
步骤 4/6
目标：解线性方程组求k1,k2和t
由第二分量得 $2k_1=1$，故 $k_1=\frac12$。由第三分量得 $-3\cdot\frac12+k_2=0$，故 $k_2=\frac32$。再由第一分量得 $t=\frac12+3\cdot\frac32=\frac12+\frac92=5$。
提示：代入时注意计算准确，避免分数运算错误。
步骤 5/6
目标：求s的值
由 $s=3t$ 及 $t=5$，得 $s=15$。
公式：$s=3t$
提示：不要忘记之前得到的s与t的关系。
步骤 6/6
目标：总结答案
因此，$s=15$，$t=5$。
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