陕西师范大学 2026年高等代数第7题
📝 题目
7．（20分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 3 维线性空间，线性变换 $\displaystyle f: V \rightarrow V$ 在 $V$ 的基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
4 & 6 & -15 \\
1 & 3 & -5 \\
1 & 2 & -4
\end{array}\right)
$$
问 $f$ 可否在 $V$ 的某个基下的矩阵为 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 3 \\ -2 & -6 & 13 \\ -1 & -4 & 8\end{array}\right)$ ，为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题：判断矩阵是否相似
问题要求判断线性变换 $f$ 是否能在某个基下具有矩阵 $B$，即判断 $A$ 与 $B$ 是否相似。相似矩阵具有相同的特征多项式、迹、行列式、特征值等不变量，但特征多项式相同不一定相似，还需考虑 Jordan 标准形。
提示：注意：特征多项式相同是相似的必要条件，但不是充分条件。
步骤 2/6
目标：计算矩阵 A 的特征多项式
计算 $A$ 的特征多项式 $\det(\lambda I - A)$：
$$
\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix}
\lambda-4 & -6 & 15 \\
-1 & \lambda-3 & 5 \\
-1 & -2 & \lambda+4
\end{pmatrix}.
$$
按第一行展开：
$$(\lambda-4)[(\lambda-3)(\lambda+4)-(-2)\cdot5] - (-6)[(-1)(\lambda+4)-5\cdot(-1)] + 15[(-1)\cdot(-2)-(\lambda-3)\cdot(-1)].$$
计算各子式：
$(\lambda-3)(\lambda+4)+10 = \lambda^2+\lambda-2$，
$(-1)(\lambda+4)+5 = -\lambda+1$，
$(-1)(-2)+(\lambda-3) = \lambda-1$。
代入得：
$$(\lambda-4)(\lambda^2+\lambda-2) +6(-\lambda+1) +15(\lambda-1).$$
展开：$(\lambda-4)(\lambda^2+\lambda-2) = \lambda^3 -3\lambda^2 -6\lambda+8$，
加上 $6(-\lambda+1) = -6\lambda+6$，加上 $15(\lambda-1)=15\lambda-15$，
总和为 $\lambda^3 -3\lambda^2 +3\lambda -1 = (\lambda-1)^3$。
所以 $A$ 的特征多项式为 $(\lambda-1)^3$，特征值 $1$（三重）。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)^3$
提示：展开时注意符号和合并同类项，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：计算矩阵 B 的特征多项式
计算 $B$ 的特征多项式 $\det(\lambda I - B)$：
$$
\det(\lambda I - B) = \det\begin{pmatrix}
\lambda-1 & 3 & -3 \\
2 & \lambda+6 & -13 \\
1 & 4 & \lambda-8
\end{pmatrix}.
$$
按第一行展开：
$$(\lambda-1)[(\lambda+6)(\lambda-8)-4\cdot(-13)] - 3[2(\lambda-8)-(-13)\cdot1] + (-3)[2\cdot4 - (\lambda+6)\cdot1].$$
计算：$(\lambda+6)(\lambda-8)+52 = \lambda^2-2\lambda+4$，
$2(\lambda-8)+13 = 2\lambda-3$，
$8 - (\lambda+6) = 2-\lambda$。
代入得：
$$(\lambda-1)(\lambda^2-2\lambda+4) -3(2\lambda-3) -3(2-\lambda).$$
展开：$(\lambda-1)(\lambda^2-2\lambda+4) = \lambda^3-3\lambda^2+6\lambda-4$，
减去 $3(2\lambda-3)=6\lambda-9$，减去 $3(2-\lambda)=6-3\lambda$，
总和为 $\lambda^3-3\lambda^2+3\lambda-1 = (\lambda-1)^3$。
所以 $B$ 的特征多项式也是 $(\lambda-1)^3$。
公式：$\det(\lambda I - B) = (\lambda-1)^3$
提示：注意展开时括号的符号，避免遗漏负号。
步骤 4/6
目标：计算 A 的 Jordan 标准形
由于特征多项式相同，需进一步比较 Jordan 标准形。先求 $A$ 的 Jordan 标准形。计算 $A-I$ 的秩：
$$A-I = \begin{pmatrix}
3 & 6 & -15 \\
1 & 2 & -5 \\
1 & 2 & -5
\end{pmatrix}.$$
行变换：第二行和第三行相同，且第一行是第二行的3倍，故秩为1。因此 $(A-I)$ 的秩为1，零空间维数为 $3-1=2$，即几何重数为2。代数重数为3，所以 Jordan 块为两个：一个2阶，一个1阶。因此 $A$ 的 Jordan 标准形为
$$J_A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.$$
公式：几何重数 = $\dim\ker(A-I) = 3 - \operatorname{rank}(A-I)$
提示：计算秩时注意行变换的准确性，几何重数等于零空间维数。
步骤 5/6
目标：计算 B 的 Jordan 标准形
计算 $B$ 的 Jordan 标准形。求 $B-I$ 的秩：
$$B-I = \begin{pmatrix}
0 & -3 & 3 \\
-2 & -7 & 13 \\
-1 & -4 & 7
\end{pmatrix}.$$
行变换：交换第一行和第三行：
$$\begin{pmatrix}
-1 & -4 & 7 \\
-2 & -7 & 13 \\
0 & -3 & 3
\end{pmatrix}.$$
第一行乘以-2加到第二行：
$$\begin{pmatrix}
-1 & -4 & 7 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & -3 & 3
\end{pmatrix}.$$
第三行加上3倍第二行：
$$\begin{pmatrix}
-1 & -4 & 7 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$$
秩为2。所以 $(B-I)$ 的秩为2，零空间维数为1，几何重数为1。因此 $B$ 的 Jordan 标准形为
$$J_B = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.$$
公式：几何重数 = $\dim\ker(B-I) = 3 - \operatorname{rank}(B-I)$
提示：行变换时注意顺序，避免计算错误；几何重数决定 Jordan 块的个数。
步骤 6/6
目标：比较 Jordan 标准形，得出结论
由于 $A$ 和 $B$ 的 Jordan 标准形不同（$J_A$ 有一个2阶Jordan块和一个1阶Jordan块，$J_B$ 有一个3阶Jordan块），因此 $A$ 与 $B$ 不相似。所以线性变换 $f$ 不能在 $V$ 的某个基下具有矩阵 $B$。
提示：相似矩阵的 Jordan 标准形唯一，因此 Jordan 标准形不同则矩阵不相似。
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