东南大学 2023年高等代数第1题

已知非齐次线性方程组 $AX=b$，其中 $A$ 是 $s\times n$ 矩阵，秩 $r(A)=r$。解集记为 $S$。需要证明：$S$ 中存在 $n-r+1$ 个线性无关的向量，且任意 $n-r+2$ 个向量线性相关。

取齐次方程组 $AX=0$ 的一个基础解系 $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r}$，它们线性无关。再取非齐次方程组的一个特解 $\eta$。构造向量组：$\eta, \eta+\xi_1, \eta+\xi_2, \dots, \eta+\xi_{n-r}$，共 $n-r+1$ 个向量，它们都是 $S$ 中的解。

设存在常数 $k_0,k_1,\dots,k_{n-r}$ 使得 $k_0\eta + \sum_{i=1}^{n-r} k_i(\eta+\xi_i)=0$。整理得 $(k_0+\sum_{i=1}^{n-r} k_i)\eta + \sum_{i=1}^{n-r} k_i\xi_i = 0$。两边左乘 $A$，利用 $A\eta=b$ 和 $A\xi_i=0$，得 $(k_0+\sum_{i=1}^{n-r} k_i)b=0$。由于 $b\neq 0$，故 $k_0+\sum_{i=1}^{n-r} k_i=0$。代入原式得 $\sum_{i=1}^{n-r} k_i\xi_i=0$。因为 $\xi_i$ 线性无关，所以 $k_i=0$（$i=1,\dots,n-r$），进而 $k_0=0$。因此向量组线性无关。

设 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{n-r+2}$ 是 $S$ 中任意 $n-r+2$ 个向量。考虑它们的差 $\alpha_i-\alpha_1$（$i=2,\dots,n-r+2$），这些差都是齐次方程 $AX=0$ 的解，共有 $n-r+1$ 个。由于齐次解空间维数为 $n-r$，故这 $n-r+1$ 个差向量线性相关，即存在不全为零的常数 $c_2,\dots,c_{n-r+2}$ 使得 $\sum_{i=2}^{n-r+2} c_i(\alpha_i-\alpha_1)=0$。

由 $\sum_{i=2}^{n-r+2} c_i(\alpha_i-\alpha_1)=0$ 整理得 $-\left(\sum_{i=2}^{n-r+2} c_i\right)\alpha_1 + \sum_{i=2}^{n-r+2} c_i\alpha_i = 0$。令 $c_1 = -\sum_{i=2}^{n-r+2} c_i$，则 $c_1,c_2,\dots,c_{n-r+2}$ 不全为零，且 $\sum_{i=1}^{n-r+2} c_i\alpha_i=0$，故 $\alpha_1,\dots,\alpha_{n-r+2}$ 线性相关。

综上，$S$ 中存在 $n-r+1$ 个线性无关的向量（如 $\eta, \eta+\xi_1, \dots, \eta+\xi_{n-r}$），且任意 $n-r+2$ 个向量线性相关。命题得证。