东南大学 2024年高等代数第10题
📝 题目
10．（10分）已知 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 为正定矩阵，$\displaystyle A B$ 的特征值全为 1 ，证明：存在次数小于 $n$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle B=f(A)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用A的正定性对角化
由于$A$是正定实对称矩阵，存在正交矩阵$Q$使得$Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$，其中$\lambda_i > 0$。令$C = Q^T B Q$，则$C$也是实对称矩阵。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$
提示：注意正交矩阵满足$Q^T = Q^{-1}$，且$B$对称保证$C$对称。
步骤 2/5
目标：利用AB特征值全为1推导B = A^{-1}
因为$A$正定，存在正定对称矩阵$G$使得$A = G^2$。则$AB = G^2 B$与$G B G$相似（因为$G^{-1}(G^2 B)G = G B G$），所以$G B G$的特征值全为1。而$G B G$是实对称矩阵，故$G B G = I$，从而$B = G^{-2} = A^{-1}$。
公式：$G B G = I \Rightarrow B = A^{-1}$
提示：相似变换保持特征值，但注意$G B G$对称性保证了它是对角化的。
步骤 3/5
目标：将问题转化为多项式插值
需要证明存在次数小于$n$的多项式$f(x)$使得$f(A) = A^{-1}$。由于$A$可对角化，只需在$A$的特征值上满足$f(\lambda_i) = 1/\lambda_i$。
公式：$f(\lambda_i) = 1/\lambda_i$
提示：实对称矩阵可对角化，最小多项式无重根，因此只需在特征值上取值相等。
步骤 4/5
目标：构造插值多项式
设$A$有$m$个互异特征值$\mu_1, \ldots, \mu_m$，重数分别为$r_1, \ldots, r_m$，且$\sum r_i = n$。由于$A$可对角化，最小多项式为$\prod_{i=1}^m (x - \mu_i)$，次数$m \leq n$。存在次数小于$m$的多项式$f(x)$满足$f(\mu_i) = 1/\mu_i$（拉格朗日插值），且$m \leq n$，故次数小于$n$。
公式：拉格朗日插值公式
提示：注意插值多项式次数小于$m$，而$m \leq n$，所以次数小于$n$。
步骤 5/5
目标：验证多项式满足条件
由于$A$可对角化，存在可逆矩阵$P$使得$A = P \Lambda P^{-1}$，则$f(A) = P f(\Lambda) P^{-1}$，其中$f(\Lambda) = \operatorname{diag}(f(\lambda_1), \ldots, f(\lambda_n))$。由$f(\lambda_i) = 1/\lambda_i$得$f(A) = A^{-1} = B$。
公式：$f(A) = P f(\Lambda) P^{-1}$
提示：注意$f$定义在特征值上，且$A$可对角化保证多项式函数作用在矩阵上成立。
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