东南大学 2024年高等代数第9题
📝 题目
9．（10 分）设 $V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间，其中 $n$ 为正整数，$I$ 为 $V$ 上的恒等变换，即 $\displaystyle I(\alpha)=\alpha, \alpha \in V$ ，且 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为 $V$ 上的线性变换，若 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle I-\mathscr{A} \mathscr{B}$ 的值域， $\displaystyle V_{2}$ 为 $\displaystyle I-\mathscr{B} \mathscr{A}$ 的值域，证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=\operatorname{dim} V_{2}$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定维数并引入映射
设 $\dim V_1 = r$，$\dim V_2 = s$。为证明 $r = s$，考虑线性变换 $\mathscr{A}$ 和 $\mathscr{B}$。定义映射 $\varphi: V_1 \to V_2$ 如下：对任意 $\alpha \in V_1$，存在 $\beta \in V$ 使得 $\alpha = (I - \mathscr{A}\mathscr{B})\beta$，令 $\varphi(\alpha) = (I - \mathscr{B}\mathscr{A})\beta$。需验证 $\varphi$ 是良定义的线性映射。
公式：$\alpha = (I - \mathscr{A}\mathscr{B})\beta$，$\varphi(\alpha) = (I - \mathscr{B}\mathscr{A})\beta$
提示：注意 $\beta$ 不唯一，需验证定义与 $\beta$ 的选择无关。
步骤 2/5
目标：验证映射的良定义性
若 $(I - \mathscr{A}\mathscr{B})\beta_1 = (I - \mathscr{A}\mathscr{B})\beta_2$，则 $(I - \mathscr{A}\mathscr{B})(\beta_1 - \beta_2)=0$，即 $\beta_1 - \beta_2 \in \ker(I - \mathscr{A}\mathscr{B})$。需证 $(I - \mathscr{B}\mathscr{A})(\beta_1 - \beta_2)=0$。设 $\gamma = \beta_1 - \beta_2$，则 $\gamma = \mathscr{A}\mathscr{B}\gamma$。于是 $(I - \mathscr{B}\mathscr{A})\gamma = \gamma - \mathscr{B}\mathscr{A}\gamma = \mathscr{A}\mathscr{B}\gamma - \mathscr{B}\mathscr{A}\gamma$。但 $\mathscr{A}\mathscr{B}\gamma$ 与 $\mathscr{B}\mathscr{A}\gamma$ 不一定相等，故直接验证困难。改用另一种标准方法。
公式：$\gamma = \mathscr{A}\mathscr{B}\gamma$
提示：直接验证良定义性可能遇到困难，提示需要换思路。
步骤 3/5
目标：利用核的维数关系
考虑核空间 $\ker(I - \mathscr{B}\mathscr{A})$ 和 $\ker(I - \mathscr{A}\mathscr{B})$。定义线性映射 $\mathscr{A}: \ker(I - \mathscr{B}\mathscr{A}) \to \ker(I - \mathscr{A}\mathscr{B})$ 如下：对任意 $\alpha \in \ker(I - \mathscr{B}\mathscr{A})$，有 $\alpha = \mathscr{B}\mathscr{A}\alpha$，则 $(I - \mathscr{A}\mathscr{B})(\mathscr{A}\alpha) = \mathscr{A}\alpha - \mathscr{A}\mathscr{B}\mathscr{A}\alpha = \mathscr{A}(\alpha - \mathscr{B}\mathscr{A}\alpha)=0$，故 $\mathscr{A}\alpha \in \ker(I - \mathscr{A}\mathscr{B})$。类似地，$\mathscr{B}$ 将 $\ker(I - \mathscr{A}\mathscr{B})$ 映到 $\ker(I - \mathscr{B}\mathscr{A})$。
公式：$(I - \mathscr{A}\mathscr{B})(\mathscr{A}\alpha) = \mathscr{A}(\alpha - \mathscr{B}\mathscr{A}\alpha)$
提示：注意验证映射的像确实落在目标核中。
步骤 4/5
目标：证明核空间维数相等
证明 $\mathscr{A}: \ker(I - \mathscr{B}\mathscr{A}) \to \ker(I - \mathscr{A}\mathscr{B})$ 是单射：若 $\mathscr{A}\alpha = 0$，则 $\alpha = \mathscr{B}\mathscr{A}\alpha = 0$，故 $\ker(\mathscr{A}|_{\ker(I - \mathscr{B}\mathscr{A})}) = \{0\}$。因此 $\dim\ker(I - \mathscr{B}\mathscr{A}) \le \dim\ker(I - \mathscr{A}\mathscr{B})$。同理，考虑 $\mathscr{B}: \ker(I - \mathscr{A}\mathscr{B}) \to \ker(I - \mathscr{B}\mathscr{A})$ 也是单射，故 $\dim\ker(I - \mathscr{A}\mathscr{B}) \le \dim\ker(I - \mathscr{B}\mathscr{A})$。从而 $\dim\ker(I - \mathscr{A}\mathscr{B}) = \dim\ker(I - \mathscr{B}\mathscr{A})$。
公式：$\alpha = \mathscr{B}\mathscr{A}\alpha$
提示：单射性的证明依赖于核中元素满足的关系式。
步骤 5/5
目标：利用维数公式得到值域维数相等
由维数公式 $\dim V = \dim\ker(I - \mathscr{A}\mathscr{B}) + \dim\operatorname{Im}(I - \mathscr{A}\mathscr{B})$，以及 $\dim V = \dim\ker(I - \mathscr{B}\mathscr{A}) + \dim\operatorname{Im}(I - \mathscr{B}\mathscr{A})$。由于 $\dim\ker(I - \mathscr{A}\mathscr{B}) = \dim\ker(I - \mathscr{B}\mathscr{A})$，相减得 $\dim\operatorname{Im}(I - \mathscr{A}\mathscr{B}) = \dim\operatorname{Im}(I - \mathscr{B}\mathscr{A})$，即 $\dim V_1 = \dim V_2$。
公式：$\dim V = \dim\ker T + \dim\operatorname{Im} T$
提示：注意维数公式适用于任意线性变换。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。