东南大学 2024年高等代数第8题
📝 题目
8．（10 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 为多项式，$A$ 为 $n$ 阶矩阵，证明：
$$
r\binom{f(A)}{g(A)}=r(f(A), g(A))
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入最大公因式并建立关系
设 $d(x) = \gcd(f(x), g(x))$，则存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)$。代入矩阵 $A$ 得 $d(A) = u(A)f(A) + v(A)g(A)$。
公式：d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)
提示：注意最大公因式的存在性及 Bezout 等式，确保 $u(x), v(x)$ 存在。
步骤 2/6
目标：定义线性变换并建立第一个秩的等式
考虑线性变换 $T: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n \oplus \mathbb{C}^n$，$T(x) = (f(A)x, g(A)x)$。则 $\operatorname{Im} T = \{ (f(A)x, g(A)x) : x \in \mathbb{C}^n \}$，其维数等于 $\operatorname{rank}\begin{pmatrix} f(A) \\ g(A) \end{pmatrix}$。
提示：理解列向量拼接的秩与像空间维数的关系。
步骤 3/6
目标：利用 Bezout 等式连接像空间
考虑线性变换 $S: \mathbb{C}^n \oplus \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$，$S(y, z) = u(A)y + v(A)z$。则 $S \circ T(x) = u(A)f(A)x + v(A)g(A)x = d(A)x$，所以 $\operatorname{Im}(d(A)) \subseteq \operatorname{Im} S$。
公式：S \circ T(x) = d(A)x
提示：注意复合映射的像包含关系。
步骤 4/6
目标：证明 $\operatorname{Im}(d(A)) = \operatorname{Im}\begin{pmatrix} f(A) \\ g(A) \end{pmatrix}$
由于 $f(x) = d(x)f_1(x)$，$g(x) = d(x)g_1(x)$ 且 $\gcd(f_1, g_1)=1$，存在 $a(x), b(x)$ 使 $a(x)f_1(x) + b(x)g_1(x) = 1$。代入 $A$ 得 $a(A)f_1(A) + b(A)g_1(A) = I$。对任意 $x \in \mathbb{C}^n$，有 $x = a(A)f_1(A)x + b(A)g_1(A)x$，则 $d(A)x = a(A)f(A)x + b(A)g(A)x$。因此 $\operatorname{Im}(d(A)) \subseteq \operatorname{Im}\begin{pmatrix} f(A) \\ g(A) \end{pmatrix}$（视为 $\mathbb{C}^n$ 中子空间）。反之，由 $f(A)=d(A)f_1(A)$，$g(A)=d(A)g_1(A)$ 知 $\operatorname{Im}\begin{pmatrix} f(A) \\ g(A) \end{pmatrix} \subseteq \operatorname{Im}(d(A))$。故相等，从而 $\operatorname{rank}\begin{pmatrix} f(A) \\ g(A) \end{pmatrix} = \operatorname{rank}(d(A))$。
公式：a(A)f_1(A) + b(A)g_1(A) = I
提示：注意 $\operatorname{Im}\begin{pmatrix} f(A) \\ g(A) \end{pmatrix}$ 作为 $\mathbb{C}^n$ 的子空间是指所有形如 $f(A)x$ 和 $g(A)x$ 的线性组合。
步骤 5/6
目标：证明 $\operatorname{rank}(f(A), g(A)) = \operatorname{rank}(d(A))$
考虑 $\operatorname{Im}(f(A), g(A)) = \{ f(A)x + g(A)y : x, y \in \mathbb{C}^n \}$。由 $d(A) = u(A)f(A) + v(A)g(A)$ 得 $\operatorname{Im}(d(A)) \subseteq \operatorname{Im}(f(A), g(A))$。又由 $f(A)=d(A)f_1(A)$，$g(A)=d(A)g_1(A)$ 得 $\operatorname{Im}(f(A), g(A)) \subseteq \operatorname{Im}(d(A))$。因此相等，故 $\operatorname{rank}(f(A), g(A)) = \operatorname{rank}(d(A))$。
提示：注意列空间与像空间的关系，以及 $\operatorname{Im}(f(A), g(A))$ 是 $f(A)$ 和 $g(A)$ 的列张成的空间。
步骤 6/6
目标：综合结论
由前两步得 $\operatorname{rank}\begin{pmatrix} f(A) \\ g(A) \end{pmatrix} = \operatorname{rank}(d(A)) = \operatorname{rank}(f(A), g(A))$，命题得证。
提示：确保两个秩都等于 $d(A)$ 的秩，从而相等。
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