东南大学 2024年高等代数第7题
📝 题目
7．（15分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为欧氏空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 为 $V$ 中的一个正交向量组，$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{n}$ 为 $V$ 中的另一个正交向量组，已知对于任意的 $\displaystyle i= 1,2, \cdots, n, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{i}$ 能由 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{i}$ 线性表出，也能由 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{i}$ 线性表出．证明：存在数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ ，使得
$$
\beta_{1}=k_{1} \gamma_{1}, \beta_{2}=k_{2} \gamma_{2}, \cdots, \beta_{n}=k_{n} \gamma_{n}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：基步骤：证明 i=1 时结论成立
对于 $i=1$，由条件，$\alpha_1$ 可由 $\beta_1$ 线性表出，也可由 $\gamma_1$ 线性表出。由于 $\alpha_1 \neq 0$（基向量非零），存在非零标量 $a_1, b_1$ 使得 $\alpha_1 = a_1 \beta_1 = b_1 \gamma_1$。因此 $\beta_1 = \frac{b_1}{a_1} \gamma_1$，令 $k_1 = \frac{b_1}{a_1}$，则 $\beta_1 = k_1 \gamma_1$。
公式：$\alpha_1 = a_1 \beta_1 = b_1 \gamma_1$
提示：注意 $\alpha_1$ 非零，因此 $a_1, b_1$ 均非零，从而 $k_1$ 存在且非零。
步骤 2/8
目标：归纳假设：假设对 i 成立
假设对某个 $i \geq 1$，存在非零常数 $k_1, \dots, k_i$ 使得 $\beta_j = k_j \gamma_j$ 对所有 $j=1,\dots,i$ 成立。
提示：归纳假设是后续推导的基础，需明确假设内容。
步骤 3/8
目标：归纳步骤：考虑 i+1 的情况
考虑 $i+1$。由条件，$\alpha_1, \dots, \alpha_{i+1}$ 可由 $\beta_1, \dots, \beta_{i+1}$ 线性表出，也可由 $\gamma_1, \dots, \gamma_{i+1}$ 线性表出。特别地，$\alpha_{i+1}$ 可表示为 $\alpha_{i+1} = \sum_{j=1}^{i+1} c_j \beta_j = \sum_{j=1}^{i+1} d_j \gamma_j$。
公式：$\alpha_{i+1} = \sum_{j=1}^{i+1} c_j \beta_j = \sum_{j=1}^{i+1} d_j \gamma_j$
提示：注意系数 $c_j, d_j$ 是标量，且 $\alpha_{i+1}$ 不能由 $\alpha_1,\dots,\alpha_i$ 线性表出，因此 $c_{i+1} \neq 0$，$d_{i+1} \neq 0$。
步骤 4/8
目标：代入归纳假设并整理
由归纳假设，对 $j \leq i$，$\beta_j = k_j \gamma_j$，代入得 $\sum_{j=1}^{i} c_j k_j \gamma_j + c_{i+1} \beta_{i+1} = \sum_{j=1}^{i} d_j \gamma_j + d_{i+1} \gamma_{i+1}$。整理得 $c_{i+1} \beta_{i+1} - d_{i+1} \gamma_{i+1} = \sum_{j=1}^{i} (d_j - c_j k_j) \gamma_j$。
公式：$c_{i+1} \beta_{i+1} - d_{i+1} \gamma_{i+1} = \sum_{j=1}^{i} (d_j - c_j k_j) \gamma_j$
提示：注意移项时符号变化，且 $\gamma_j$ 是正交向量组，线性无关。
步骤 5/8
目标：利用正交性推出系数关系
由于 $\gamma_1, \dots, \gamma_{i+1}$ 是正交向量组，它们线性无关。因此左边和右边必须分别等于零向量。右边为零向量推出 $d_j = c_j k_j$ 对所有 $j=1,\dots,i$ 成立。左边为零向量给出 $c_{i+1} \beta_{i+1} = d_{i+1} \gamma_{i+1}$。
公式：$c_{i+1} \beta_{i+1} = d_{i+1} \gamma_{i+1}$
提示：线性无关性保证等式两边系数均为零，这是关键步骤。
步骤 6/8
目标：证明 $c_{i+1}$ 和 $d_{i+1}$ 非零
由于 $\alpha_{i+1}$ 不能由 $\alpha_1, \dots, \alpha_i$ 线性表出（因为它们是基），而 $\alpha_1, \dots, \alpha_i$ 可由 $\beta_1, \dots, \beta_i$ 线性表出，故 $\alpha_{i+1}$ 不能由 $\beta_1, \dots, \beta_i$ 线性表出，因此 $c_{i+1} \neq 0$。类似地，$d_{i+1} \neq 0$。
提示：非零性保证 $k_{i+1}$ 存在且非零，否则结论不成立。
步骤 7/8
目标：得到 $\beta_{i+1} = k_{i+1} \gamma_{i+1}$
由 $c_{i+1} \beta_{i+1} = d_{i+1} \gamma_{i+1}$ 且 $c_{i+1} \neq 0$，得 $\beta_{i+1} = \frac{d_{i+1}}{c_{i+1}} \gamma_{i+1}$。令 $k_{i+1} = \frac{d_{i+1}}{c_{i+1}}$，则 $\beta_{i+1} = k_{i+1} \gamma_{i+1}$。
公式：$\beta_{i+1} = \frac{d_{i+1}}{c_{i+1}} \gamma_{i+1}$
提示：注意 $k_{i+1}$ 非零，因为 $d_{i+1}, c_{i+1}$ 均非零。
步骤 8/8
目标：归纳完成，得出结论
由归纳法，对所有 $i=1,\dots,n$，存在非零常数 $k_i$ 使得 $\beta_i = k_i \gamma_i$。因此存在数 $k_1, k_2, \dots, k_n$ 使得 $\beta_i = k_i \gamma_i$ 对所有 $i$ 成立。
提示：归纳法证明完成，注意结论中 $k_i$ 可以是任意数（非零）。
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